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2012-11-06T03:25:46+01:00

Polinomios
2.1. Definiciones
Definición: se llama polinomio de variable x a la expresión algebraica que resulta
de sumar 2 o más monomios de variable x, siendo del tipo:
P(x)=anx
n
+…+a2x
2
+a1x+a0 Donde:
- a0, a1, …, an ∈R y son los coeficientes y a0 término independiente
- n es el grado del polinomio (el grado mayor de los monomios)
- anx
n
, …, a1x, a0 son los términos del polinomio
Ejemplo: P(x)=-6x
5
-3x
2
+
2
3
·x+ 2 es un polinomio de variable x, de grado 5 con
coeficientes a5=-6, a4=a3=0, a2=-3, a1=
2
3
y a0= 2 . Siendo 2 el término
independiente.
Observa las siguientes expresiones que no son polinomios de variable x:
x + x ;
x
x
3 1
− ; x
2
-y+2
Otras definiciones:
- polinomio de grado cero: son los números reales
- polinomio nulo: es el cero 0(x)=0
- polinomio completo: es aquel donde todos los coeficientes desde el de mayor
grado al término independiente son distintos de cero. Ejemplo: P(x)=-
2x
3
+4x
2
-5x+12
Valor numérico de un polinomio: resulta de sustituir una variable por un número,
obteniendo el correspondiente valor numérico.
Ejemplo: P(x)=x
3
-x
2
+x-5 P(1)=1
3
-1
2
+1-5=-4 ; P(0)=0
3
-0
2
+0-5=-5
Raíz de un polinomio P(x): es todo número real, a∈R, tal que su valor numérico es
cero es decir P(a)=0
Ejemplo: P(x)=7x
5
-4x
2
+11 el -1 es una raíz de P(x) P(-1)=-7-4+11=0.
En siguientes apartados veremos cuantas y como calcular las raíces de los
polinomios. Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Página realizada por José Luis Lorente ([email protected]) 4
2.2. Operaciones con polinomios
Suma y diferencia: se suman y restan los monomios semejantes como vimos en el
apartado anterior.
Ejemplo: P(x)=2x
3
-5x
2
+3x-2 y Q(x)=6x
4
-5x
3
+6x-5
P(x)+Q(x)= 2x
3
-5x
2
+3x-2+(6x
4
-5x
3
+6x-5)=6x
4
-3x
3
-5x
2
+9x-7
P(x)-Q(x)=2x
3
-5x
2
+3x-2-(6x
4
-5x
3
+6x-5)=2x
3
-5x
2
+3x-2-6x
4
+5x
3
-6x+5=
=-6x
4
+7x
3
-5x
2
-3x+3
Definición: polinomios opuestos son los que sumados el resultado es el polinomio
nulo. El opuesto de P(x) se denota como –P(x).
Ejemplo: P(x)=x
2
-3x+5 -P(x)=-x
2
+3x-5
Multiplicación: la multiplicación de dos polinomios resulta de multiplicar cada
monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo.
Ejemplo: (5x
2
-3x+5)·(-7x
3
+x+1)=-35x
5
+5x
3
+5x
2
+21x
4
-3x
2
-3x-35x
3
+5x+5=
=-35x
5
+21x
4
-30x
3
+2x
2
+2x+5
Potencia de polinomios: la potencia n-esima de un polinomio P(x) se denota como
(P(x))
n
y resulta de multiplicar P(x) n veces por si mismo: (P(x))
n
=P(x)· P(x)·… ·P(x)
n-veces
Ejemplo: P(x)=(5x
2
+x+1) (P(x))
3
=(5x
2
+x+1)·(5x
2
+x+1)·(5x
2
+x+1)=
=125x
6
+75x
5
+90x
4
+31x
3
+18x
2
+3x+1
Identidades notables:
- Cuadrado de la suma de monomios: (a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
.
Demostración: (a+b)
2
=(a+b)·(a+b)=a
2
+ab+ba+b
2
=a
2
+2ab+b
2
Ejemplo: (5x+3)
2
=(5x)
2
+2·5x·3+3
2
=25x
2
+30x+9
- Cuadrado de la diferencia de monomios: (a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
.
Demostración: (a-b)
2
=(a-b)·(a-b)=a
2
-ab-ba+b
2
=a
2
-2ab+b
2
Ejemplo: (5x-3)
2
=(5x)
2
-2·5x·3+3
2
=25x
2
-30x+9
- Suma por diferencia: (a+b)·(a-b)=a
2
-b
2
Demostración: (a+b)·(a-b)=a
2
-ab+ba-b
2
=a
2
-b
2
Ejemplo: (5x-3)·(5x+3)=(5x)
2
-3
2
=25x
2
-9