Respuestas

2012-10-31T02:19:00+01:00

 

¿Qué pasa cuando ...?

Supongamos ahora que tenemos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm. El teorema de Pitágoras nos asegura que la hipotenusa mide 5 cm. Esto significa que tanto los catetos como la hipotenusa tienen un segmento de 1 cm como medida común; es decir que si tomamos un segmento de 1 cm, éste cabrá exactamente 3 veces en el cateto menor, exactamente 4 veces en el cateto mayor y exactamente 5 veces en la hipotenusa.

Si usáramos el cateto menor como unidad de medida, ¿cuánto mediría la hipotenusa?. La respuesta es inmediata: 5/3 unidades. Es lógico ensayar esta manera de trabajar, en otros triángulos rectángulos: usando uno de los catetos como unidad, ¿podremos siempre medir la hipotenusa? Para resolver la cuestión emplearíamos un procedimiento semejante al que hemos usado en el ejemplo anterior: buscar una medida común para el cateto y la hipotenusa. Cuando intentamos hacerlo vamos buscando fracciones del segmento cada vez menores. Si podemos encontrar una medida satisfactoria se dice que la hipotenusa es conmensurable respecto al cateto. Si tal medida no existe se dice que es inconmensurable.

¿Es siempre posible medir la hipotenusa con el cateto? Vamos a ver que no. Si tomamos un triángulo rectángulo cuyos catetos mida 1 unidad, la hipotenusa mide Raíz(2) y al intentar medir la hipotenusa con el cateto debería ser posible encontrar una igualdad del tipo Raíz(2) = a/b. Cuando se intenta partir de este premisa se llega a una contradicción tal y como puedes observar en la figura de abajo (te dejo el razonamiento para ti). Esta forma de demostración se llama «por reducción al absurdo»: consiste en suponer lo contrario de lo que se quiere demostrar y buscar una contradicción. Los pasos son los siguientes

Supongamos que raiz(2) se puede expresar en forma de fracción (irreducible) Razonando (tal y comno se ha esquematizado abajo) llegamos a que a/b sería reducible, lo que resulta contadictorio. Por tanto la hipótesis que hemos introducido no puede ser cierta: raíz(2) no pueder ser una fracción (o número racional).