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2012-10-29T01:46:04+01:00

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de unaintegral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como elmétodo de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. espero te ayude 

2012-10-29T01:46:10+01:00
1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica

La partícula parte de s = 0.

Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en . Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad es ¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?

2 Solución numérica

Si conocemos la velocidad instantánea, podemos hallar el desplazamiento a base de sumar los desplazamientos diferenciales

Gráficamente, esto equivale a hallar el área bajo la curva de la velocidad frente al tiempo.

Examinando la figura, podemos ver que la curva corta la cuadrícula en los puntos de coordenadas enteras (en el SI) (0,1), (1,4), (4,7), (7,8), (9,8), (12,7), (15,4) y (16,1):

El área bajo la curva puede entonces ser aproximada por una suma de trapecios, siendo la fórmula para el área de cada uno

Aplicando esto a nuestro caso obtenemos el desplazamiento aproximado

Existen otras formas numéricas de aproximar el resultado, según como se aproxime la curva. En este caso, se puede hacer coincidir con muy buena aproximación por media circunferencia de radio , con lo que el área valdría