Respuestas

2012-10-16T15:58:05+02:00

1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función
y  x
3
 bx
2
 cx  d corte al eje OY en el punto (0, 1), pase por el punto (2, 3) y, en ese
punto, tenga tangente paralela al eje OX.
b) Una vez hallados esos valores, halla los máximos y mínimos relativos y los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la citada función.
Solución:
a) y  x
3
 bx
2
 cx  d  y´ 3x
2
 2bx  c  y´´ 6x  2b
Por pasar por (0, 1)  1 = d
Por pasar por (2, 3)  3 = 8 + 4b + 2c + d
Por tangente horizontal en x = 2, y´(2) = 0:
 0 = 12 + 4b + c
Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones se obtiene:
b = –5, c = 8, d = 1
La función es y  x
3
 5x
2
 8x 1
b) Volviendo a derivar:
y´ 3x
2
10x  8; y´´ 6x 10
La derivada primera se anula en x = 4/3 y en x = 2.
Si x < 4/3, y´ > 0  la función crece.
Si 4/3 < x < 2, y´< 0  la función decrece. En consecuencia, en x = 4/3 se tendrá un
máximo. (También puede verse que y´´(4/3) < 0.)
Si x > 2, y´ > 0  la función crece. En consecuencia, en x = 2 se tendrá un mínimo.
(También puede verse que y´´(2) > 0.  

 

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