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2012-10-16T02:46:14+02:00
Para saber si se hace por el métod de integración por partes, puedes valerte de la regla del ILATE, que dice que deben aparecer en la integración la multiplicación de 2 de cualquiera de la siguientes funciones:
I : Inversa
L: Logaritmica
A : Aritmética
T : Trigonométrica
E : Exponencial
En este caso se vio que 
x es una función aritmética
lnx es una función logaritmica
Ambas funciones van multiplicadas, luego haces la integral por partes
Ahora bien, en la integral
∫ x.ln(x) dx = 
te vales de la misma regla de ILATE, para asignar en ese orden la variable u:
"u" será en primer lugar, una función Inversa
será en segundo lugar una función Logaritmica
será en tercer lugar una función Aritmética
será en cuarto lugar una función Trigonométrica
será en ultimo lugar una función exponencial
en nuestro caso, tenemos x (Aritmética) y lnx (Logaritmica)
entonces u = lnx (porque está en orden prioritario con respecto a las funciones aritméticas)
u = lnx
Luego, du la obtienes derivando a u
du = (1/x)dx
En la integral ∫ x.ln(x) dx puedes ver que, después de haber llamado u = lnx, "lo que sobra" es x.dx, luego:
xdx= dv (ver Ecuación (i)
como dv = xdx, puedes deducir v, integrando a ambos lados y te queda:
v = x²/2
∫ x.ln(x) dx = 
Lo haces por el método de integración por partes que dice que:
∫ u dv = uv - ∫ v du Ecuación (i)
u = lnx; du = (1/x)dx
x dx = dv; v = x²/2
Luego:
∫ x.ln(x) dx = 
= ∫udv = uv - ∫vdu = ∫ xln(x)dx = ln(x).x²/2 - ∫ (x²/2)(1/x)dx
= ∫ xln(x)dx = ln(x).x²/2 - ∫ (x/2)dx = ln(x).x²/2 - (1/2)(x²/2)dx=
= x²/2 [ln(x) - 1/2]
luego:
∫ x.ln(x) dx = x²/2 [ln(x) - 1/2]