Respuestas

  • gtt
  • Aspirante
2012-10-08T02:53:54+02:00

Hola,

∫ dx /√(x² + 2)³ =

dividamos y multipliquemos por 2 (para obtener 2 en el numerador):

(1/2) ∫ [2 /√(x² + 2)³] dx =

luego sumemos y substraigamos x² en el numerador:

(1/2) ∫ {[(x² + 2) - x²] /√(x² + 2)³} dx =

partamos la integral en:

(1/2) ∫ [(x² + 2) /√(x² + 2)³] dx - (1/2) ∫ [x² /√(x² + 2)³] dx =

simplifiquemos la primera integral y escribamos la segunda como:

(1/2) ∫ [1 /√(x² + 2)] dx - (1/2) ∫ x [(x² + 2)^(-3/2)] x dx =

integremos la segunda integral por partes, poniendo:

x = u → dx = du


[(x² + 2)^(-3/2)] x dx = dv → 
(dividendo y multiplicando por 2 para obtener 2x, es decir la derivada de (x² + 2))

(1/2) [(x² + 2)^(-3/2)] 2x dx = dv

(1/2) [(x² + 2)^(-3/2)] d(x² + 2) = dv

(1/2){1/[(-3/2)+1]} (x² + 2)^[(-3/2)+1] = v

(1/2)[1/(-1/2)] (x² + 2)^(-1/2) = v

(1/2)(- 2)[1 /√(x² + 2)] = v

- 1 /√(x² + 2) = v

y obteniendo:

∫ u dv = v u - ∫ v du

(1/2) ∫ [1 /√(x² + 2)] dx - (1/2) {[- 1 /√(x² + 2)] x - ∫ [- 1 /√(x² + 2)] dx} =

(1/2) ∫ [1 /√(x² + 2)] dx - (1/2) {[- x /√(x² + 2)] + ∫ [1 /√(x² + 2)] dx} =

(1/2) ∫ [1 /√(x² + 2)] dx + {x /[2√(x² + 2)]} - (1/2) ∫ [1 /√(x² + 2)] dx =

luego, borrando los términos opuestos, concluimos con:


∫ dx /√(x² + 2)³ = {x /[2√(x² + 2)]} + C



espero haber sido de ayuda..
¡Saludos!