Respuestas

2012-10-07T20:53:59+02:00

Dominio El dominio de una función es el conjunto de valores donde la función está definida. Se deben hallar los valores de x donde la función no existe. Estos puntos son:Valores donde algún denominador es 0. Se deben hallar las raíces de cada denominador que aparezca en la función. Esos puntos no pertenecen al dominio. Valores donde una cantidad subradical de índice par (por ejemplo raíz cuadrada o raíz cuarta) es negativa. Se hallan las raíces de la cantidad subradical y se estudia su signo. Los intervalos donde es negativa son intervalos donde la función no existe.
Las raíces cúbicas (y en general todas las de índice impar) existen para todos los reales. Valores donde algún logaritmando es menor o igual que cero. Se hallan ceros y signo del logaritmando. Donde sea negativo o cero, la función no existe.

En f(x) = xe(x+1)/(x-1) tenemos un denominador: x - 1. Éste vale 0 cuando x=1. Por lo tanto, f no existe en x=1.

Dominio de f(x) = Df(x) = {x/x pertenece a R ^ x ≠ 1}

Continuidad y asíntotas verticales

De la parte 1) sabemos en qué puntos no existe la función. Ahora tenemos que averiguar cómo se comporta la función en un entorno de esos puntos. Hallamos los límites laterales en los puntos de discontinuidad, y en los extremos de los intervalos de discontinuidad. Si alguno de los límites laterales en un punto x=a da infinito se dice que f tiene asíntota vertical (AV) de ecuación x=a (ver la página con las definiciones de asíntotas).

En el ejemplo:

+inf ----^---- lim f(x) = lim xe (x+1)/(x-1) = +inf => f tiene AV x=1. x->1+ x->1+ -inf ----^---- lim f(x) = lim xe (x+1)/(x-1) = 0+ x->1- x->1-

Podemos comenzar a trazar la función:

Ceros y signo

Hallar los ceros de la función consiste en resolver la ecuación f(x)=0.
En algunos casos esto no es sencillo, por lo cual puede utilizarse el método de Rolle o el método de ábacos.

Para especificar el signo se colocan sobre un eje los ceros de la función y los puntos de inexistencia, y se determina el signo (positivo o negativo) en cada uno de los intervalos que quedan.

En el ejemplo:

f(x) = xe(x+1)/(x-1)

- 0 + E + -------|-------|-------> 0 1

La función exponencial es siempre positiva, para todo exponente real, así que el signo de f es el signo de x: negativo para x < 0 y positivo para x > 0.

En el ejemplo:

lim f(x) = lim xe (x+1)/(x-1) = +inf x->+inf x->inf f(x) xe (x+1)/(x-1) lim ---- = lim ------------ = e x->+inf x x->+inf x lim f(x) - ex = lim xe (x+1)/(x-1) - ex = x->+inf x->+inf IND. 0.inf | lim xe(e (x+1)/(x-1) - 1 - 1) = lim xe(e 2/(x-1) - 1) = x->+inf x->+inf 1 por límites tipo ------^------ (e 2/(x-1) - 1) 2 2ex lim xe.-------------.----- = lim ------ = 2e x->+inf 2/(x-1) (x-1) x->+inf x - 1

Asíntota: y = ex + 2e

lim f(x) = -inf x->-inf f(x) lim ---- = e x->-inf x lim f(x) - ex = 2e x->-inf

Para x->-inf la asíntota es y = ex + 2e.

Sigamos trazando la gráfica:

Derivada primera

Se debe calcular la derivada primera, y luego hallar sus ceros y estudiar su signo. Por información sobre derivación, ver derivada y reglas de derivación.

Extremos + + + sg f'(x) ----------->

f es creciente

- - - sg f'(x) ----------->

f es decreciente

+ 0 - sg f'(x) -----|-----> a

f presenta un máximo en (a,f(a)).

- 0 + sg f'(x) -----|-----> a

f presenta un mínimo en (a,f(a)).

Por detalles ver la página sobre variación.

Puntos de inflexión con tangente horizontal - 0 - sg f'(x) -----|-----> a

f presenta un punto de inflexión en (a,f(a)) con tangente horizontal.

+ 0 + sg f'(x) -----|-----> a

f presenta un punto de inflexión en (a,f(a)) con tangente horizontal.

Puntos singulares E sg f'(x) -----|-----> a

Si la derivada primera no existe en un punto en que la función sí existe, se dice que la función presenta un punto singular.

Para averiguar qué tipo de punto singular es, se deben calcular los límites laterales de la derivada primera en ese punto.

lim f'(x) ≠ lim f'(x) x->a+ x->a- (los dos finitos y diferentes o a lo sumo uno de ellos infinito.)

La función presenta un punto anguloso en x=a.

Las tangentes laterales en el punto son diferentes.

Sus ecuaciones son:

y = f'(a)(x-a) + f(a) ---- lim f'(x) y lim f'(x) x->a+ x->a- limx->a+ f'(x) y limx->a- f'(x) son infinitos de distinto signo (la tangente en dicho punto es vertical).

La función presenta un punto de retroceso en x=a.

Estos puntos también son un máximo o un mínimo.

limx->a+ f'(x) y limx->a- f'(x) son infinitos de igual signo.

La función presenta tangente vertical y es creciente o decreciente.

   

El punto se llama punto de inflexión con tangente vertical.

Continuemos con el ejemplo.

f(x) = xe (x+1)/(x-1) ( x-1-(x+1) ) f'(x) = e (x+1)/(x-1) + xe (x+1)/(x-1)------------- = (x-1) 2 -2x e (x+1)/(x-1)(x 2 - 4x + 1) e (x+1)/(x-1)(----- + 1) = ------------------------ (x-1) 2 (x-1) 2 __ ______ 4+2\|3 __ ~ 4 +- \|16 - 4 / ------- = 2 + \|3 = 3,73 ------------- = / 2 2 \ __ ~ \ 2-\|3 = 0,27 crec max dec dec min crec + 0 - E - 0 + sg f' -------|-------|-------|-------> __ __ 2-\|3 1 2+\|3 __ Máximo en (2 - \|3, 0,047) __ Mínimo en (2 + \|3, 21,1)

Dibujemos ahora esos extremos:

Derivada segunda

Se halla la derivada segunda y luego se hallan sus ceros y signo.

Concavidad + + sg f'' -------->

Si el signo de la derivada segunda es positivo, la función presenta concavidad positiva.

- - sg f'' -------->

Si el signo de la derivada segunda es negativo, la función presenta concavidad negativa.

Puntos de inflexión con tangente oblicua - 0 + sg f'' ----|----> a   + 0 - sg f'' ----|----> a  

Ecuación de la tangente: y = f'(a)(x-a) + f(a)

Por más información, ver la página sobre concavidad.

En el ejemplo:

(8x - 4) f''(x) = e (x+1)/(x-1)------- (x - 1) 4 - 0 + E + sg f'' -----|-----|-----> 1/2 1 ~ f(1/2) = 0,025 ~ f'(1/2) = -2,15 y = -2,15(x-1/2) + 0.025 = -2,15x + 1,1

 

Finalmente, dibujemos el punto de inflexión:

Veamos ahora la gráfica exacta de la función: