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2012-10-06T20:24:33+02:00

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ECUACIÓN LINEAL

: La forma general de una ecuación lineal es a11x1 + a12x2 + a13x3

+ . . . + a

1nxn = b1.

SISTEMA DE ECUACIONE S LINEALES

: Un sistema de ecuaciones lineales está

formado por un conjunto de ecuaciones lineales a

i1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi , donde

i = 1, 2, ...,m. La forma general de escribir un sistema de ecuaciones lineales es la

siguiente:

a

11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . . + a1nxn = b1

a

21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . . + a2nxn = b2

a

31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . . + a3nxn = b3

. . . . . .

a

m1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . . + amnxn = bm

En forma abreviada es

Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de

las incógnitas y

b es el vector de los valores independientes.

Un sistema de ecuaciones es

homogéneo si bj = 0, para cada j = 1, 2, . . . m; y es

No homogéneo

si al menos uno de los bj es diferente de cero.

TIPOS DE SOLUCIÓN

: Un sistema puede ser consistente o inconsistente. Es

consistente

cuando tiene solución (única o infinitas). Es inconsistente cuando no

tiene solución.

Un sistema de ecuaciones homogéneo siempre tendrá solución: Única, cuando después

de aplicar eliminación Gaussiana el número de ecuaciones es igual al número de

incógnitas, esta es la solución trivial ( 0, 0, 0, . . . , 0 ); Infinitas, cuando después de

aplicar eliminación Gaussiana el número de ecuaciones es menor que el número de

incógnitas. Un sistema de ecuaciones no homogéneo puede ser consistente o

inconsistente.

REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS

: Un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas representa un conjunto de dos rectas en el plano. Un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas representa un conjunto de tres planos en el espacio.

RELACIÓN SOLUCIÓN - DETERMINANTE - INVERSA

: Un sistema de ecuaciones

lineales Ax = b tendrá solución única si, y sólo si, det(A)

¹ 0. El sistema tendrá infinitas

soluciones o es inconsistente si, y sólo si, det(A) = 0.

Si det(A)

¹ 0 y A-1 es la inversa de A, entonces la solución del sistema Ax = b es x =

A

 

-1b

.

OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS:

Si en un sistema de ecuaciones Ax=b

se realizan las siguientes operaciones, se obtiene un sistema equivalente, es decir, un

sistema con las mismas soluciones:

1. Multiplicar una ecuación por un escalar k diferente de cero. {kE

m ®modifica(Em)}.

2. Intercambiar dos ecuaciones. {E

m ® En y En ® Em}.

3. Sumar a una ecuación, k veces otra ecuación. {kE

m + En ® modifica(En)}.