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  • Usuario de Brainly
2012-10-05T01:22:58+02:00

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las describió así, en la actualidad se enuncian como sigue:

Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitaselípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse. Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular  es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.

2012-10-05T01:54:02+02:00

Los cuerpos celestes describen trayectorias en las que se cumple que: las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. El radio vector va desde el foco de la elipse a la posición del planeta en cada instante.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio).

El applet ilustra la segunda Ley de Kepler y también la primera (trayectoria elíptica). En él se simula un cuerpo que se mueve en órbita bajo la atracción gravitatoria de otro.

Cambia el valor de la excentricidad (e) arrastrando sobre el cursor deslizable situado en la parte inferior y lanza la aplicación con "start". Comprobarás que las áreas amarillas son todas iguales entre si. Puedes observar como la velocidad varía a lo largo de la órbita.

La demostración de la segunda ley de Kepler, se fundamenta en la conservación del momento angular lo cual es consecuencia de que la fuerza de gravedad corresponde a una fuerza central.  Para ver esto, consideremos un planeta de masa, m, moviéndose alrededor del sol en una órbita elíptica.

La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta siempre se dirige a lo largo del radio vector, hacia el sol.  Se le llama fuerza central a la fuerza de este tipo, dirigida hacia un punto fijo o en sentido contrario a él.  El torque (momento de la fuerza) que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza central es cero, ya que la fuerza F es paralela al radio  r,  esto es:

 M =0

Si consideramos que dL/dt = 0 ,  esto implica que el momento angular L(t) es constante, es decir no varía con el tiempo:

                     L = r x p = r x v = vector constante  (donde p = mes el momento lineal)

Como L es un vector constante, perpendicular a a  r y a v, vemos que el movimiento del planeta, su radio vector,  r, y su velocidad, v, en cualquier instante están restringidos al plano perpendicular al vector constantes L.

Relacionándolo geométricamente podemos ver que el radio  r  barre un área dA  en un tiempo  dt.  Esta area es igual a la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores r  y  dr  ( || dr || ) .

Como el desplazamiento del planeta en un tiempo  dt  es  dr  = vdt , obtenemos:

                         dA = 1/2 || dr || = 1/2 || vdt || =  ||L||/2m dt

 Por lo tanto,

es una constante.  Es decir, en tiempos iguales, se barren áreas iguales. 

aca tienes suerte...