Responda utilizando verdadero o falso y justifique su respuesta: a) Las matrices cuadradas son invertibles. b) Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita siempre tienen solución. c) El determinante no cambia cuando aplicamos operaciones elementales por fila a una matriz dada. d) La reducida de una matriz invertible es siempre la identidad.

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Respuestas

2012-09-30T02:55:50+02:00

A+/ SI:

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertibleno singularno degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que

AA−1 = A−1A = In,

donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

 

B+/ 

Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

 

La ecuación  parece complicada; pero en realidad es una ecuación de primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente: 7x-18=0

 

Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.

 

En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

 

C+/ Existen 3 operaciones elementales. Permutación, ponderación de una fila por escalar, y sumar filas. Estas representadas por matrices elementales. (Estas pueden ser de columnas, al multiplicar la matriz elemental por la derecha). Se tiene que:

El determinante de una matriz elemental de permutación es -1.
El determinante de una matriz elemental que multiplica 1 fila por c es c.
El determinante de sumar 2 filas es 1.

Usando que el determinante de (MA) = det(M)*det(A) se obtiene:

Cuando realizamos una operación de permutación, ocurre lo siguiente. Si inicialmente, para una matriz cuadrada " A":

det(A) = D, al aplicar una permutación det(A) = -D. El determinante cambia de signo al aplicar una permutación. Eso sí, puede quedar iguales, dependiendo el número de permutaciones.

Si realizamos 2 permutaciones: det(A) = D. Se mantiene. En general con un número par de permutaciones se mantiene el determinante, y con un número impar de permutas cambia de signo:

det(A) = (-1)^n* D, n el número de permutaciones que se realicen.

Cuando realizamos una operación de ponderar una fila por un escalar, si el determinante de " A " es D, entonces:

det(A) después de la operación = c*det(A) , c el escalar con el que multiplicamos la fila.

Para el caso de una matriz que suma filas, si el determinante inicial de la matriz A es D:

det(A) después de la operación = det(A). Se mantiene.



D+/

La matriz identidad In de n x n es una matriz de n x n cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás son cero. Esto es:

Donde la diagonal principal de A = (aij) consiste en todas las componentes a11, a22, a33, etc.

 

Ejemplo:
Dos matrices identidad:

 

 

Teorema 3

Sea A una matriz cuadrada de n x n. Entonces:

AIn = InA = A

Es decir, In conmuta con toda matriz de n x n y la deja sin cambio después de la multiplicación por la derecha o por la izquierda. En adelante sólo se designará como I.