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2012-09-24T07:45:58+02:00

El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente

Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x1.

Poniendo x1 como argumento de j(x), obtendremos un nuevo número x2, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

 (1)

Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución x es

El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y=j(x), y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa x del punto de intersección es la raíz buscada.

Un ejemplo típico es la de encontrar la raíz de la ecuación

Para encontrar la raíz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x0 dentro del intervalo (0, p/2), y se traza la línea vertical hasta que interseca la curva, luego, desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza la recta bisectriz, este punto tendrá por abscisa x1. Se traza de nuevo, una línea vertical hasta encontrar a la curva, y otra línea horizontal hasta encontrar la línea recta, el punto de intersección tiene de abscisa x2 , y así sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, la sucesión x1, x2, x3... tiende hacia la raíz x de la ecuación buscada.

Tal como nos sugiere la representación gráfica de la función en la figura, la raíz buscada está en el intervalo 0 a p/2. Tomamos una aproximación inicial a la raíz x0, en dicho intervalo y aplicamos la fórmula (1), su codificación no presenta grandes dificultades.

double x=0.5; while(true){ x=Math.cos(x); }