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2012-09-12T06:28:39+02:00

Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud:
x
i=ai x=0i
2
n
=2
i
n
La enésima suma de Riemann es
∑i=1
n
f  x
i
 x=∑i=1
n
f 2
i
n

2
n
=∑i=1
n
2
i
n

2

2
n
=∑i=1
n 8
n
3
i
2
=
8
n
3∑i=1
n
i
2
=
8
n
3
[
nn12 n1
6
]
el área de la región es el límite de las sumas de Riemann:
limn∞∑i=1
n
f  x
i
 x=limn∞
[
4n12 n1
3 n
2
]=
8
3
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x= x−1
2
2, x=−1, x=2 y el eje x
mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann.
SOLUCION:
Se divide [-1,2]:
;
La enésima suma de Riemann es
∑i=1
n
f  x
i
 x=∑i=1
n
f −13
i
n

3
n
=∑i=1
n
[−13
i
n
−1
2
2]
3
n
=
=

=

 x=
2−0
n
=
2
n
x
i=ai x=−1
3i
n
 x=
2−−1
n
=
3
n
∑i=1
n
[
3i
n
−2
2
2]
3
n
=∑i=1
n

9i
2
n
2 −
12i
n
42
3
n
∑i=1
n
27
i
2
n
3−
36
n
2
i
18
n
=
27
n
3 ∑i=1
n
i
2

36
n
2 ∑i=1
n
i
18
n ∑i=1
n
1
27
n
3
[
nn12 n1
6
]−
36
n
2
[
nn1
2
]
18
n
n=9n1
n1
2
n
2
−18
n1
n
∑ 18
i=1
n
f  x
i
 xel área de la suma de Riemann:
limn∞∑i=1
n
f  x
i
 x=limn∞
[9n1
2 n1
2
n
2
−18
n1
n
18] = 9 -18 + 18 =9
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x=2 x2
3
, x=−2, x=0 y el eje x
mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.
SOLUCION
Se divide [-2,0]:  x=
2
n
; x
i=−2
2i
n
la énesima suma de Riemann es:
∑i=1
n
f  x
i
 x=∑i=1
n
2−2
2i
n
2
3

2
n
=∑i=1
n 32i
3
n
4 =
32
n
4 ∑i=1
n
i
3
=
32
n
4
[
n
2
n1
2
4
]=8
n1
2
n
2
se halla el límite :
limn∞∑i=1
n
f  x
i
 x=limn∞ 8
n1
2
n
2 =8
✔ Evaluar limn∞∑i=1
n
 x
i
2
−2 x
i
 x , donde x
o=1 , x
1=1 x ,... , x
n=3 mediante el análisis
de la integral apropiada.
SOLUCION
Esta suma de Riemann se debe cambiar a una integral:  x se convierte en dx, x
i se convierte en x
y el intervalo de integración es [1,3].
Evaluar limn∞∑i=1
n
 x
i1−x
i
cos x
i
, donde x0=0,...,xn=

6
.
SOLUCION
Se reconoce que x
i1−x
i= x y se obtiene
limn∞∑i=1
n
 x
i
2
−2 x
i
 x=∫1
3
 x
2
−2 xdx=
x
3
3
−x
2

1
3
=
3
3
3
−3
2
−
1
3
3
−1
2
=
2
3