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2012-08-30T01:30:43+02:00

Las ecuaciones de tercer grado con coeficientes reales se pueden resolver directamente de forma similar a las ecuaciones de segundo grado, aunque el cálculo es un poco más largo.

No hay necesidad de aventurarse en la regla de Ruffini ni en las iteraciones que exigen los métodos numéricos (por ejemplo el método de de la bisección, el método de la regla falsa, el método de Newton-Raphson, el método de la secante o el método de iteración de punto fijo).

Sea la ecuación a*x^3 + b*x^2 + c* x + d = 0

(Nótese que he cambiado el signo de algunos coeficientes del enunciado para ponerlos todos positivos).

NATURALEZA DE LAS RAICES

Sean
p = b – a^2/3
q = c + (2*a^3 – 9*a*b) / 27

Sea
Δ = 27*(4*p^3+27*q^2), 
o bien, 
Δ = 4*b^3*d - b^2*c^2 + 4*a*c^3 - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2

Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas. 
Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales. 
Si Δ < 0 existen tres raíces reales. 

SOLUCIONES usando a, b, c y d

Sean
q = (9*a*b*c – 27*a^2*d – 2*b^3) / (54*a^3)
r = raiz(( (3*a*c-b^2) / (9*a^2) )^3 + q^2)

(Nótese que q ahora ha cambiado de valor, lo hago así para ser coherente con las fuentes que pongo abajo).

Ahora sean
s = (q + r)^(1/3) …. (raíz cúbica)
t = (q - r)^(1/3) …. (raíz cúbica)

Las soluciones son
X1 = s + t – b/(3*a)
X2 = -(s+t)/2 – b/(3*a) + (raiz(3)/2)*(s-t)*i ….. (i=raiz(-1))
X2 = -(s+t)/2 – b/(3*a) - (raiz(3)/2)*(s-t)*i

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SOLUCION DE 0.058X^3 + 0.548X^2 - 0.245X - 0.147=0
Para este caso particular las raices de la ecuación son
X1= 0.7470741889109327
X2= -9.850962911421074
X3= -0.34438713955882694

:)