Respuestas

2012-08-17T00:20:18+02:00

Considera la siguiente expresión:
(a + b) • (a - b)²

Te indican que "a>0" y "b>0". Entonces "a + b > 0".
Te indican que "a ≠ b". Entonces "a - b ≠ 0". De donde deducimos: (a - b)² > 0.

En consecuencia podemos afirmar que:

(a + b) • (a - b)² > 0 ❶
por ser el producto de dos factores positivos.
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Desarrollemos ❶:
(a + b) • (a - b)² > 0 ⇒
(a + b) • (a² - 2ab + b²) > 0 ⇒
a³ - 2a²b + ab² + a²b - 2ab² + b³ > 0 ⇒
a³ - a²b - ab² + b³ > 0 ⇒

a³ + b³ > a²b + ab²

Finalmente, dividimos ambos miembros por el número positivo "a² b²":
(a³ + b³) / (a² b²) > (a²b + ab²) / (a² b²) ⇒

(a / b²) + (b / a²) > (1 / b) + (1 / a)

que es lo que se quería demostrar.
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Otra forma de demostrar lo anterior es por el absurdo. Es decir: damos por cierto la relación opuesta a la que se quiere demostrar y buscamos llegar a un absurdo.

Sea cierta la siguiente relación:

(a / b²) + (b / a²) ≤ (1 / a) + (1 / b) ❷
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Como es "a>0" y "b>0" podemos multiplicar ambos miembros por el número positivo: "a² b²". Entonces:

a³ + b³ ≤ a b² + a² b ⇒ [transponemos términos]
a³ - a b² ≤ a² b - b³ ⇒ [tomamos factores comunes]
a (a² - b²) ≤ b (a² - b²) ⇒
a (a² - b²) - b (a² - b²) ≤ 0 ⇒[factor común]
(a - b) (a² - b²) ≤ 0 ⇒ [desarrollamos la dif. de cuadrados]
(a - b) (a - b) (a + b) ≤ 0 ⇒

(a - b)² (a + b) ≤ 0
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Y razonamos (lo hago rápido porque este análisis ya lo hicimos antes):

(a - b)² > 0 (por hipótesis)
a + b > 0 (por hipótesis)

Entonces la desigualdad:
(a - b)² (a + b) ≤ 0

es -definitivamente- ABSURDA ya que el término izquierdo de la desigualdad es un número POSITIVO (ni nulo ni negativo).

Y el absurdo proviene de haber supuesto ❷:

(a / b²) + (b / a²) ≤ (1 / a) + (1 / b)

Luego la desigualdad adecuada debe ser:

(a / b²) + (b / a²) > (1 / a) + (1 / b)

que es lo que se quería demostrar.
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COMENTARIO.
La razón por la que te expuse la demostración por el absurdo (además de ser correcta y útil) es que te muestra -claramente- por qué es erróneo demostrar algo... partiendo de la base que eso que se quiere demostrar YA ES CIERTO ¿se entiende?
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Espero te haya sido de utilidad.

2012-08-17T00:41:15+02:00

 

MULTIPLICAR (a)(-3a)(a²) (-a)(-2ab)(-3a²b²)

 

Resolucion:

 

-3a(4) . -6a(4)b(3)

18a(8).b(3)