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¡La mejor respuesta!
2012-08-04T04:18:21+02:00

Esta es una composición de composiciones de funciones (sonó algo estilo inception xD). Para funciones como ésta, debes aplicar regla de la cadena varias veces, pero antes, debes asegurarte bien cual es el orden en que se aplican las funciones:

En este ejercicio tienes una raíz cuadrada (exponente 1/2) de la expresión sec^4 (x^2 + 1) + cot^2 (x + 1)^1/2, a la cual llamaremos v(x) por ahora.

La regla de la cadena estable lo siguiente: Si quieres derivar una función f( g(x) ), aplicas primero la derivada de f y la evalúas en g(x), y a ese resultado lo multiplicas por la derivada de g, es decir:

[ f( g(x) ) ]' = f'( g(x) )*g'(x)

En tu ejercicio sería: h( v(x) )' = h'( v(x) )*v'(x), donde h es la función raíz cuadrada, y v(x) la expresión que llamé así anteriormente. Entonces necesitas la derivada de la función raíz cuadrada, que es:

[raíz(x)]' = 1/( 2*raíz(x) )

Entonces la primer parte de tu ejercicio sería:

1/( 2*raíz( v(x) ) )*[v(x)]'

Acá solo te faltaría derivar v(x), y para ello debes verificar a cual función corresponde eso. Entonces empiezas a derivar cada nueva función hasta un punto donde no te aparecen más derivadas al aplicar la regla de la cadena.

Solo para que sigas con la idea, v(x)=sec^4 (x^2 + 1) + cot^2 (x + 1)^1/2, es una suma de funciones, y la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Esto te debe dar una pista de como continuar.