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2012-07-30T03:11:37+02:00

mira esta pagina depronto te sirva

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/maximo/maximo.htm

preciona longitud de la trayectoria

2012-07-30T03:25:56+02:00

La longitud del elemento diferencial de la trayectoria (en color rojo en la figura) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes dx y dy,  respectivamente.

d x 2 +d y 2 = 1+( dy dx ) 2 dx

La longitud total del camino recorrido por el proyectil es

L(θ)= ∫ 0 R d x 2 +d y 2 = ∫ 0 R 1+ ( dy dx ) 2 dx = ∫ 0 R 1+ ( − g v 0 2 cos⁡ 2 θ x+tan⁡θ ) 2 dx

Esta integral es de la forma

∫ 1+ u 2 du= u 2 u 2 +1 + 1 2 ln⁡| u+ u 2 +1 |

su solución se puede consultar en cualquier libro de Cálculo Diferencial e Integral.

L(θ)=− v 0 2 cos⁡ 2 θ g ∫ u 0 u 1 1+ u 2 du   u= −g v 0 2 cos⁡ 2 θ x+tan⁡θ

Al cambiar la variable de x a u cambian los límites de la integral.

El límite inferior se obtiene para x=0, es decir, para u0=tanθ

El límite superior se obtiene para x=R, es decir, para u1=-tanθ

L(θ)=− v 0 2 cos⁡ 2 θ g ∫ u 0 u 1 1+ u 2 du =− v 0 2 cos⁡ 2 θ g { ( −tan⁡θ 2 1+ tan⁡ 2 θ + 1 2 ln⁡| −tan⁡θ+ 1+tan⁡ 2 θ | ) −( tan⁡θ 2 1+ tan⁡ 2 θ + 1 2 ln⁡| tan⁡θ+ 1+ tan⁡ 2 θ | ) }

Teniendo en cuenta que 1+tan2θ=1/cos2θ

L(θ)=− v 0 2 cos⁡ 2 θ g { − sinθ cos⁡ 2 θ + 1 2 ln⁡( 1−sinθ cos⁡θ )− 1 2 ln⁡( 1+sinθ cos⁡θ ) }= − v 0 2 cos⁡ 2 θg { − sinθ cos⁡ 2 θ + 1 2 ln⁡( 1−sinθ 1+ sin θ ) }=− v 0 2 cos⁡ 2 θ g { − sinθ cos⁡ 2 θ + 1 2 ln⁡( 1− sin 2 θ(1+sinθ) 2 ) }= − v 0 2 cos⁡ 2 θ g { − sinθ cos⁡ 2 θ −ln⁡( 1+sinθ cos⁡θ ) }= v 0 2 g { sinθ+ cos⁡ 2 θln⁡( 1+sinθcos⁡θ ) }

En la figura, se muestra que el comportamiento de la longitud L del camino recorrido por el proyectil con el ángulo de tiroθ. La longitud aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir.

Derivamos L(θ) para hallar el ángulo θ para el cual la longitud de la trayectoria es máxima

dL dθ =2 v 0 2 g cos⁡θ( 1−sinθln⁡( 1+sinθ cos⁡θ ) )=0

Tenemos que resolver la ecuación trascendente

1−sinθln⁡( 1+sinθ cos⁡θ )=0

La representación gráfica nos indica que el máximo de L(θ) se encuentra entre 50 y 60º. Se calcula la raíz de la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio. El valor que se obtiene es θm=56.46º