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2012-07-21T20:53:10+02:00

Problemas de Optimización y de Tasas Relacionadas

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimización:

1). Lo primero y más importante es identificar las variables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.

2). Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.

3). Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f®.

4). Establezca la diferenciación de f® a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.

Por ejemplo, considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene,

g’ ® = −2r + 4 = 0

Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,

g (0) = −2 g (1) = 1

2012-07-21T21:07:37+02:00

Es una aplicación de la derivada efectivamente, la optimización se trata de por medio del cálculo averiguar la máxima o mínima capacidad que puede tener algo. Por ejemplo, el problema más usual es que se tiene un rectángulo de altura Y y base X y 100mts de cable para cercarlo, y se quiere saber cuál es el área máxima que puede abarcarse con los 100m de cable. Entonces se tiene que el perímetro está dado por: 2y + 2x y a su vez el perímetro son los 100m de cable, así que 100 = 2x + 2y = 50 = x + y. Ahora despejamos en términos de X (o Y, no importa): X = 50 - y. Pero el problema pide averiguar el área máxima, y la fórmula del área es base*altura, en nuestro caso. A = X * Y. Pero ya sabemos quien es X, entonces remplazamos:

A = (50 - y) * y
A= 50y * -y^2
y ésta función la derivamos para luego conocer su máximo absoluto:
A(y) = -2y + 50.
Hacemos cero la función:
-2y + 50 = 0......y = 25
Y ese resultado, lo remplazamos en la fórmula del área que es lo que se nos solicita:
A = (50 - 25 ) * 25
A = 625
Luego, el área máxima serán 625.

Es más o menos la idea, aunque para éste tipo de problemas, siempre conviene tener algún tipo de apoyo gráfico para entenderlos bien.