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2012-07-04T02:55:37+02:00

ecuaciones con modulos

|x + 1|2 = |x + 1| + 2 


Una manera de hacerlo es usando la definición de módulo:

|x| = x   si     x >= 0        (DEFINICIÓN DE MÓDULO)
       -x    si    x < 0

Como los dos módulos tienen adentro la misma expresión: x + 1, hay sólo dos posibilidades:

(x + 1) > = 0    ó    (x + 1) < 0

1) Si (x + 1) > = 0, entonces |x + 1| = x + 1 (según la definición de módulo)

Así que la ecuación queda así:

(x + 1)2 = x + 1 + 2

x2 + 2x + 1 = x + 3

x2 + 2x - x + 1 - 3 = 0

x2 + x - 2 = 0

Y esa ecuación cuadrática completa la resuelvo con la fórmula resolvente:

x1,2 = 

          -1 +- V12 - 4.1.(-2)
x1,2 = --------------------
                    2.1

          -1 +- V9
x1,2 = ----------
              2

          -1 +- 3
x1,2 = --------
              2

x1 = (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1

x2 = (-1 - 3)/2 = -4/2 = -2

Pero ojo, hay que recordar que partimos de que x + 1 >= 0, entonces la solución también tiene que cumplir que:

x + 1 >= 0

x >= -1

Comparemos con las soluciones que obtuve de la cuadrática:

x1 = 1 

El 1 es mayor que -1, así que esta solución cumple con la inecuación

x2 = -2 

El -2 no es mayor que -1, así que no cumple con la inecuación. Así que esta solución no es válida: se descarta.

La opción 1) dió una sola solución:

x = 1


2) Si x + 1 < 0 entonces |x + 1| = -(x + 1). Entonces la ecuación queda:

[-(x + 1)]2 = -(x + 1) + 2

(x + 1)2 = -x - 1 + 2

x2 + 2x + 1 = -x - 1 + 2

x2 + 2x + 1 + x + 1 - 2 = 0

x2 + 3x = 0

Otra ecuación cuadrática, que la puedes resolver con el método que quieras. A mí me parece más rápido hacerlo de la siguiente manera:

x.(x + 3) = 0

x = 0     ó     x + 3 = 0

x = 0     ó     x = 0 - 3
                   
                   x = -3

Posibles soluciones:

x1 = 0
x2 = -3

Pero además recordemos que se tiene que cumplir que:

x + 1 < 0

x < - 1

Y veamos si las posibles soluciones lo cumplen:

x1 = 0      El 0 no es menor que -1. Así que esta solución no es válida.

x2 = -3     El -3 sí es menor que -1. Así que esta solución es válida.

La opción 2) dió x = -3 como solución.


Juntando las dos opciones tenemos que la solución de la ecuación es:

x = 1    ó    x = -3

S = {1,-3}

inecuaciones con modulos

A = {x є R / |1 - 5x| < = 9} 

Hay que encontrar el conjunto de todos los números reales que cumplan con esa condición:

|1 - 5x| <= 9

Para eso hay que resolver la inecuación con módulo. Una de las formas de resolver una inecuación con módulo es usando ciertas propiedades:

1) |x| > a ---> x < - a ó x > a       (siendo "a" un número positivo)

2) |x| < a ---> -a < x < a

(Las mismas valen para >= y <= )

Como esta inecuación es con el símbolo de menor, hay que usar la segunda propiedad:

|1 - 5x| <= 9 ----> -9 <= 1 - 5x < = 9

Y resuelvo la inecuación "doble":

-9 <= 1 - 5x <= 9

-9 - 1 <= -5x <= 9 - 1

-10 <= -5x <= 8

-10/-5 >= x >= 8/-5 

(se invierte la desigualdad porque pasé el -5 de multiplicar a dividir, y es un número negativo)

2 >= x >= -8/5

Eso significa que "x es menor que 2 y mayor que -8/5"

Representamos en la recta numérica para visualizar mejor qué números cumplen con eso:

imagen

Y podemos ver que son los números que pertenecen al intervalo.

[-8/5;2]



b) B = {x є R / |5x - 6|> 4 }

Como esta es con el "mayor", uso la primera propiedad:

|5x - 6| > 4 ---> 5x - 6 < -4 ó 5x - 6 > 4

Y resuelvo esas dos inecuaciones:

5x - 6 < -4 ó 5x - 6 > 4

5x < -4 + 6 ó 5x > 4 + 6

5x < 2 ó 5x > 10

x < 2/5 ó x > 10/5

x < 2/5 ó x > 2

Representamos eso, para ver qué números cumplen con una u otra condición:


Y vemos que son los números que están en el intervalo (-∞;2/5) o en el intervalo (2;+∞). Así que la solución es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (-∞;2/5) U (2;+∞)

aca puedes encontrar otro: 

http://matematicaylisto.webcindario.com/respuestas/inecuac4.htm#modulo