Respuestas

2012-07-03T21:48:13+02:00
Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)

....

SOLUCIÓN   x2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y2 – y1 = 5 – (-3) = 13 
Luego, 


 

Ejemplo 2   Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:

Coordenadas del punto medio M del segmento  
Coordenadas del punto P sobre el segmento  tal que 

.. 
..

SOLUCIÓN   En la figura adjunta se ilustra el segmento  y los puntos pedidos en a) y  
  
  
 

Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces: 

 
 

Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)

b) Como  entonces  
 

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):

  

Luego, las coordenadas del punto P, son: P

..

Ejemplo 3   Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura. 
  
  
 

 

......

SOLUCIÓN   Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .

Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) . Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene:

y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x

Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que 

Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.


 

Ejemplo 4   Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura 
  
  
 

.... 
..

SOLUCIÓN   Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además, . 
Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1.

Para la recta m, b = 1 y 

Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m.

También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2.

Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir,

0 = 2m – 2 , de donde m = 1.

Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n.

Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación:

y = 2x + 2.


  
 

Ejemplo 5   Determine las ecuaciones de las rectas l r que se muestran en la figura adjunta.

.... 
....

SOLUCIÓN   Para la recta l, se tiene: y – 3 = ml (x + 1). 
  
  Pero ml = tan 135º

= - tan 45º = -1

Luego, y – 3 = - (x + 1)

ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l.

Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).

Pero, mr =  
 

Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.


 

Ejercicio 6   Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.

..

SOLUCIÓN   En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta l que pasa por ellos.   Entonces, la ecuación de l viene dada por: 
 
o equivalentemente, 
3y – 9 = 2x – 2 o también, 
2x – 3y + 7 = 0 (1) La ecuación (1) corresponde a la recta pedida.

Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo: 


 

Ejercicio 7   Escribir las ecuaciones de las l, , l2 , l3 , y l4 que aparecen en la figura adjunta.

.. 
..

SOLUCIÓN   Para l1 se tiene: a = 1, b = -1 
Luego, es la ecuación del1, es decir, 
x – y = 1 
Para l2 : , de donde  
Para l3 : , es decir, x + y = 1

Finalmente, para l4 de donde x + y = -1


 

Ejercicio 8   Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1)

.. 
..

SOLUCIÓN   Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1).

Como P1 y P2 pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es: 
 

A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2)

A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3) 
 

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos:  y  
 

Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene:

 ó 

Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.

..

Ejercicio 9   Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar:

a)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.

b)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l
 

.. 
..

SOLUCIÓN   Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular a respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2). 
Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y l2 respectivamente. 
  Como l1 l2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m1 = -3/4. 
Ahora, usando la forma punto – pendiente (Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l1: 
 y simplificándola se puede escribir en la forma general: 
3x + 4y – 11 = 0

b) Como l2 l1 , entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m2 = 4/3.

Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l2
 y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0 
3x + 4y – 11 = 0