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2014-02-18T03:29:22+01:00
Una de las demostraciones que más me gusta de este hecho consiste en darse cuenta que la composición de 2 giros en el plano es un giro de ángulo la suma, y que algebraicamente esto se corresponde con el producto de matrices:
El seno y el coseno de la suma de ángulosintroducción Haciendo uso del hecho de que a cada punto del plano le corresponde un vector y de que los vectores se suman según la regla del paralelogramo, vamos a demostrar las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos en función de los senos y cosenos de cada uno de ellos. Concretamente vamos a demostrar las siguientes igualdades:DemostraciónLa recta por el origen que hace un ángulo  con el eje  corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas , por definición de seno y coseno.Si rotamos los puntos del plano alrededor del origen un ángulo , el punto  se mueve a la posición , y el punto  se mueve a la posición  (ver figura).Por lo tanto un punto cualquiera  se mueve a la posición .En particular el punto  se mueve a la posición que al multiplicar nos queda:.Pero el punto  se mueve claramente con la rotación a la posición . De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas: