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2012-06-11T18:15:30+02:00

Teorema de Bolzano

Antes de enunciar el teorema de Bolzano, veamos una definición y una propiedad relativas a sucesiones, que se emplearán en la demostración de dicho teorema. (Por más detalles, visitar la página sobre sucesiones).

Definición: Par de sucesiones monótonas convergentes (PSMC)

((an),(bn)) es un PSMC <=>
1) (an) es creciente
    (bn) es decreciente
2) Para todo n natural an < bn
3) Para todo ε > 0 existe h natural / bh - ah < ε

Propiedad: Todo PSMC tiene frontera

((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+.

Teorema de Bolzano

Bernhard Bolzano (1781-1848)

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0.

H) f(x) continua en [a,b]
    f(a).f(b) < 0
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f(c) = 0

Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x, entonces la gráfica intersecta al eje en algún punto entre a y b. Por supuesto que pueden haber varias intersecciones.

Demostración:

Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.)

Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2.
Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Sino, f será positiva o negativa en (a+b)/2.

Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2.

Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc., tales quea <= a1 <= a2 <= ... <= an y b >= b1 >= b2 >= ... >= bn.

Es decir,
1) Los ai forman una sucesión creciente y los bi forman una sucesión decreciente.
2) Los ai son siempre menores que los bi.

Veamos cuál es el limn->+inf bn - an.

bn - an es la longitud del intervalo [an,bn].
La longitud del intervalo [a1,b1] es (b - a)/2, la mitad de la longitud de [a,b] que es b - a.
La longitud del intervalo [a2,b2] es (b - a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que es (b - a)/2.
Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b - a)/2n.

De modo que,
3) limn->+inf bn - an = limn->+inf (b - a)/2n = 0.

1), 2) y 3) son las condiciones de la definición de PSMC:

an es creciente, bn es decreciente Para todo n natural an < bn Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε (que es lo mismo que limn->+inf bn - an = 0.)

Todo PSMC tiene la propiedad de definir un número frontera entre ambas sucesiones.

((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+.

lim an = c- significa que para todo δ>0 existe n1 / para todo n>=n1 c - δ < an < c.
lim bn = c+ significa que para todo δ>0 existe n2 / para todo n>=n2 c < bn < c + δ.

O sea que tomando el mayor entre n1 y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas cosas.
Es decir, para todo δ>0 existe n3 / para todo n >= n3 c-δ < [an,bn] < c+δ.

Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno.

Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad, limx->cf(x)=f(c).

Si f(c)<0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es negativa.

Dentro de este entorno, existe un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo.

Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es positiva.

Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an) es de distinto signo que f(bn).

Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0.

Propiedad de Darboux

Gaston Darboux (1842-1917)

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe un valor d entre a y b para el cual f(d)=k.

H) f continua en [a,b]
   f(a) < k < f(b)
T) Existe d perteneciente a (a,b) / f(d)=k

Sea g una función auxiliar: g(x) = f(x) - k.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas g(a) = f(a) - k < 0 g(b) = f(b) - k > 0

=> de 1), 2) y 3) por teorema de Bolzano, existe d perteneciente a (a,b) / g(d) = f(d) - k = 0

O sea, existe d perteneciente a (a,b) / f(d)=k.

2012-06-11T18:16:10+02:00

En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre unintervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.