Respuestas

2012-06-10T03:13:14+02:00

ocuparemos la identidad pitagórica: \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1

 

Se obtiene que \[\sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} , entonces:

 

\[\sin \left( {2\arccos \dfrac{2}{3}} \right) = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( {2\arccos \dfrac{2}{3}} \right)}

 

Por ángulo doble, se tiene que\[{\cos ^2}\left( {2\arccos \dfrac{2}{3}} \right) = {\left( {2{{\left( {\cos \left( {\arccos \dfrac{2}{3}} \right)} \right)}^2} - 1} \right)^2}

 

como arccos es la función inversa del coseno, entonces cos(arccosx)=x, entonces

 

\[{\cos ^2}\left( {2\arccos \frac{2}{3}} \right)

\[ = {\left( {2{{\left( {\cos \left( {\arccos \frac{2}{3}} \right)} \right)}^2} - 1} \right)^2}

\[ = {\left( {2{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} - 1} \right)^2}

\[ = {\left( {2 \cdot \frac{4}{9} - 1} \right)^2}

\[ = {\left( {\frac{8}{9} - 1} \right)^2}

\[ = {\left( {\frac{{ - 1}}{9}} \right)^2} = \frac{1}{{81}}

 

Reemplazando:

 

\[\begin{gathered} \sin \left( {2\arccos \frac{2}{3}} \right) \hfill \\ = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( {2\arccos \frac{2}{3}} \right)} \hfill \\ = \sqrt {1 - \frac{1}{{81}}} = \sqrt {\frac{{80}}{{81}}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{9} \approx 0,712 \hfill \\ \end{gathered}

 

O simplemente, aplica calculadora, pero lo ideal es ver la matemática del asunto... como se comporta... Saludos!