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2012-06-09T02:42:03+02:00
  
Las congruencias fueron introducidas formalmente por K. F. Gauss en su obra Disquisitiones Arithmeticae para estudiar problemas aritméticos relacionados con la divisibilidad, aunque posteriormente se han aplicado a muchos de los problemas de la teoría de números.

Sean a y  b números enteros  y m>0 un número natural. Diremos que a y b son congruentes modulo m si m divide a a-b, y lo designaremos como

a=b (mod m).

Por ejemplo, los números que son congruentes a 0 módulo m son exactamente los múltiplos de m. La congruencia es una relación de equivalencia, puesto que verifica las propiedades reflexiva

a=a (mod m),simétricaa=b (mod m) si y solo si b=a (mod m),y transitivaa=b (mod m) y b=c (mod m), entonces a=c (mod m),como se puede comprobar fácilmente.

Así podemos agrupar los números enteros en familias disjuntas formadas por los números que son congruentes módulo m; obtenemos exactamente m familias, llamadas las clases de congruencia de m: son las familias de números congruentes con i módulo m variando i entre 0 y m-1.

Por ejemplo, las clases de congruencia módulo 2 son exactamente dos familias, la de los números pares y la de los números impares. 
De la misma forma, hay exactamente 3 clases de congruencia módulo 3, formados por los números múltiplos de 3, los números múltiplos de 3 mas 1 y los números múltiplos de 3 mas 2 (o menos 1).

Designaremos por Z/mZ (zeta módulo m) las clases de congruencia módulo m; tenemos así, por ejemplo, que

 Z/3Z={ 0, 1, 2 }. Las propiedades más importantes de las congruencias es que respetan la suma y la multiplicación de números enteros: Si a=b (mod m) y c=d (mod m), entonces  a+c=b+d (mod m) Si a=b (mod m) y c=d (mod m), entonces ac=bd (mod m)