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2012-06-09T02:23:20+02:00

Derivadas
Reglas de derivaci¶on
Suma
d
dx
[f(x) + g(x)] = f
0
(x) + g
0
(x)
d
dx
[kf(x)] = kf
0
(x)
Producto
d
dx
[f(x)g(x)] = f
0
(x)g(x) + f(x)g
0
(x)
Cociente
d
dx
·
f(x)
g(x)
¸
=
f
0
(x)g(x) ¡ f(x)g
0
(x)
g(x)
2
d
dx
ff[g(x)]g = f
0
[g(x)]g
0
(x)
Regla de la cadena
d
dx
ff(g[h(x)])g = f
0
(g[h(x)])g
0
[h(x)]h
0
(x)
d
dx
(k) = 0
d
dx
(x
k
) = kx
k¡1
d
dx
[f(x)
k
] = kf(x)
k¡1
f
0
(x)
Potencia
d
dx
(
p
x) =
d
dx
(x
1=2
) =
1
2
p
x
d
dx
[
p
f(x)] =
f
0
(x)
2
p
f(x)
d
dx
µ
1
x

=
d
dx
(x
¡1
) = ¡
1
x
2
d
dx
·
1
f(x)
¸
= ¡
f
0
(x)
f(x)
22
Reglas de derivaci¶on (continuaci¶on)
d
dx
(sin x) = cos x
d
dx
[sin f(x)] = cos f(x)f
0
(x)
Trigonom¶etricas
d
dx
(cos x) = ¡ sin x
d
dx
[cos f(x)] = ¡ sin f(x)f
0
(x)
d
dx
(tan x) = 1 + tan
2
x
d
dx
[tan f(x)] = [1 + tan
2
f(x)]f
0
(x)
d
dx
(arcsin x) =
1
p
1 ¡ x
2
d
dx
[arcsin f(x)] =
f
0
(x)
p
1 ¡ f(x)
2
Funciones de arco
d
dx
(arc cos x) =
¡1
p
1 ¡ x
2
d
dx
[arc cos f(x)] =
¡f
0
(x)
p
1 ¡ f(x)
2
d
dx
(arctan x) =
1
1 + x
2
d
dx
[arctan f(x)] =
f
0
(x)
1 + f(x)
2
d
dx
(e
x
) = e
x
d
dx
(e
f(x)
) = e
f(x)
f
0
(x)
Exponenciales
d
dx
(a
x
) = a
x
ln a
d
dx
(a
f(x)
) = a
f(x)
ln af
0
(x)
d
dx
(ln x) =
1
x
d
dx
(ln f(x)) =
f
0
(x)
f(x)
Logar¶³tmicas
d
dx
(lga x) =
1
x
1
ln a
d
dx
(lga f(x)) =
f
0
(x)
f(x)
1
ln a3
Ejercicios de derivadas
1. Determinar las tangentes de los ¶angulos que forman con el eje positivo de las x las l¶³neas
tangentes a la curva y = x
3
cuando x = 1=2 y x = ¡1, construir la gr¶a¯ca y representar
las l¶³neas tangentes.
Soluci¶on.- a) 3/4, b) 3.
2. Determinar las tangentes de los ¶angulos que forman con el eje positivo de las x las l¶³neas
tangentes a la curva y = 1=x cuando x = 1=2 y x = 1, construir la gr¶a¯ca y representar
las l¶³neas tangentes.
Soluci¶on.- a) -4, b) -1.
3. Hallar la derivada de la funci¶on y = x
4 + 3x
2 ¡ 6.
Soluci¶on.- y
0 = 4x
3 + 6x.
4. Hallar la derivada de la funci¶on y = 6x
3 ¡ x
2
.
Soluci¶on.- y
0 = 18x
2 ¡ 2x.
5. Hallar la derivada de la funci¶on y =
x
5
a+b ¡
x
2
a¡b
:
Soluci¶on.- y
0 =
5x
4
a+b ¡
2x
a¡b
.
6. Hallar la derivada de la funci¶on y =
x
3¡x
2+1
5
.
Soluci¶on.- y
0 =
3x
2¡2x
5
.
7. Hallar la derivada de la funci¶on y = 2ax
3 ¡
x
2
b + c.
Soluci¶on.- y
0 = 6ax
2 ¡
2x
b
.
8. Hallar la derivada de la funci¶on y = 6x
7
2 + 4x
5
2 + 2x.
Soluci¶on.- y
0 = 21x
5
2 + 10x
3
2 + 2.
9. Hallar la derivada de la funci¶on y =
p
3x +
p3
x +
1
x
.
Soluci¶on.- y
0 =
p
3
2
p
x +
1
3
p3
x2 ¡
1
x2 .
10. Hallar la derivada de la funci¶on y =
(x+1)
3
x
3
2
.
Soluci¶on.- y
0 =
3(x+1)
2
(x¡1)
2x
5
2
.
11. Hallar la derivada de la funci¶on y =
p3
x
2 ¡ 2
p
x + 5.
Soluci¶on.- y
0 =
2
3
1p3
x ¡ p1
x
.
12. Hallar la derivada de la funci¶on y =
ax
2
p3
x +
b
x
p
x ¡
p3
x
p
x
.
Soluci¶on.- y
0 =
5
3
ax
2
3 ¡
3
2
bx
¡5
2 +
1
6
x
¡7
6 .
13. Hallar la derivada de la funci¶on y = (1 + 4x
3
)(1 + 2x
2
).
Soluci¶on.- y
0 = 4x(1 + 3x + 10x
3
).
14. Hallar la derivada de la funci¶on y = x(2x ¡ 1)(3x + 2).
Soluci¶on.- y
0 = 2(9x
2 + x ¡ 1).4
15. Hallar la derivada de la funci¶on y = (2x ¡ 1)(x
2 ¡ 6x + 3).
Soluci¶on.- y
0 = 6x
2 ¡ 26x + 12.
16. Hallar la derivada de la funci¶on y =
2x
4
b
2¡x2 .
Soluci¶on.- y
0 =
4x
3
(2b
2¡x
2
)
(b
2¡x2
)
2 .
17. Hallar la derivada de la funci¶on y =
a¡x
a+x
.
Soluci¶on.- y
0 = ¡
2a
(a+x)
2 .
18. Hallar la derivada de la funci¶on f(t) =
t
3
1+t
2 .
Soluci¶on.- f
0
(t) =
t
2
(3+t
2
(1+t
2
)
2 .
19. Hallar la derivada de la funci¶on f(s) =
(s+4)
2
s+3
.
Soluci¶on.- f
0
(s) =
(s+2)(s+4)
(s+3)
2 .
20. Hallar la derivada de la funci¶on y =
x
3+1
x2¡x¡2
.
Soluci¶on.- y
0 =
x
4¡2x
3¡6x
2¡2x+1
(x2¡x¡2)
2 .
21. Hallar la derivada de la funci¶on y = (2x
2 ¡ 3)
2
.
Soluci¶on.- y
0 = 8x(2x
2 ¡ 3).
22. Hallar la derivada de la funci¶on y = (x
2 + a
2
)
5
.
Soluci¶on.- y
0 = 10x(x
2 + a
2
)
4
.
23. Hallar la derivada de la funci¶on y =
p
x
2 + a
2
.
Soluci¶on.- y
0 = p x
x2+a2
.
24. Hallar la derivada de la funci¶on y = (a + x)
p
a ¡ x.
Soluci¶on.- y
0 =
a¡3x
2
p
a¡x
.
25. Hallar la derivada de la funci¶on y =
q
1+x
1¡x
.