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2012-06-06T04:03:08+02:00

Capítulo 9
Series de potencias. Desarrollos en serie
de Taylor
En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especialmente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su
estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones
de variable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para
nuestros propósitos. Como referencia utilizamos [APOSTOL1].
9.1. Series de potencias
9.1.1. Convergencia de las series de potencias
Definición 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma


n=0
an(x−c)
n
.
El número real an se denomina coeficiente n-ésimo de la serie de potencias (obsérvese que el término
n-ésimo de la serie es an(x−c)
n
). Si los coeficientes a0, a1, am−1 son nulos, la serie suele escribirse


n=m
an(x−c)
n
.
En cierto modo, se trata de una especie de polinomio con infinitos términos. Vamos a ver que
las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los
polinomios.
¿Para qué valores de x converge una serie de potencias? Obviamente, es segura la convergencia
para x = c, con suma a0, y puede suceder que éste sea el único punto en el que la serie converge. Fuera
de este caso extremo, la situación es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.
Ejemplos. a) La serie geométrica


n=0
x
n
converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1,1) (con suma
1
1−x
, como sabemos).
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