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2014-01-08T22:30:43+01:00
Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo , el cambio de variable necesario es del tipo .

Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación 

y, desarrollándola, queda (1).

Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo .

Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que , es decir 

Sustituyendo en (1) queda . (2)

Esta nueva ecuación está en la forma que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo 

Por tanto, despejando la variable en la ecuación (2), queda 

Dado que , y que , obtenemos la solución de la ecuación original con variable en , que es



El "truco" de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Conjunto Solución(C.S): Son las raíces(x sub1 y x sub2) que se presentan en una ecuacion de segundo grado. Estas soluciones pertenecen al conjunto de los reales.


Obtención de la abscisa del vértice por derivadas [editar]Tomando en cuenta el concepto de tangente y derivadas, podemos hallar el valor de abcisas correspondiente al vértice de dicha función cuadrática.

Sabiendo la representación gráfica de una parábola, afirmamos que dada una función su derivada primera será igual a cero.

Derivando dicha función obtenemos:



si entonces 

Entonces el punto en que la función cuadrática posee una recta tangente de pendiente 0 (conocido como mínimo/máximo relativo) será 


Obtención de la fórmula de segundo grado [editar]
Método 1 [editar]Sea ax2 + bx + c = 0

Restamos c a ambos miembros: ax2 + bx = − c

Multiplicamos la igualdad por 4a: 4a2x2 + 4abx = − 4ac

Sumamos b2 a ambos miembros: 4a2x2 + 4abx + b2 = − 4ac + b2

El primer miembro de la ecuación es un producto notable: (2ax + b)2 = b2 − 4ac

Realizando la raíz cuadrada en ambos miembros resulta: 

Restando b a ambos miembros y multiplicando por obtenemos la solución:




Método 2 [editar]Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática) podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula resolvente de dicha ecuación. Considerando,



donde para forzar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.

Dividimos todo por a:



Pasamos restando el término independiente del otro lado de la igualdad.


espero que te ayude