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  • Usuario de Brainly
2014-01-06T17:24:55+01:00
Para resolver el problemita, debemos de recordar
las razones trigonometricas del angulo de 36º ok.

Sea :

ABCDE --> el pentagono regular mencionado
........ O --> el centro de la circunferencia inscrita en dicho pentagono
........ M --> el punto de interseccion entre la circunferencia y el segmento AE

Ahora, calculmemos el angulo interno del pentagono ok.

.......... 180º(n - 2)
m< i = ▬▬▬▬▬
............... n

Como la figura es un pentagono (poligono de 5 lados)
=> n = 5

.......... 180º(5 - 2)
m< i = ▬▬▬▬▬
................ 5

m< i = 36º.3
m< i = 108º


Por otro lado, formaremos los segmentos AO y OM
=> Se cumpliria de que OM es perpendicular a AE
... Tambien de que m<OAM = m<BAO = 54º


Luego, como "M" es punto medio de AE = 10 => AM = ME = 5

Luego, en el triangulo rectangulo AMO, tendriamos de que OM
seria el radio de la circunferencia inscrita => OM = r
Tambien se puede deducir facilmente de que m<AOM = 36º

Luego, en el mismo triangulo aplicaremos la razon trigonometrica "Tangente"

=>
............. 5
Tg 36º = ▬
............. r

Pero nosotros, sabemos por angulos notables de que :

................ ________
............... / ........ __
............. √ 10 - 2√ 5
Tg 36º = ▬▬▬▬▬▬
................ 1 + √ 5


................. ________
................ / ........ __
...... 5 .... √ 10 - 2√ 5
..... ▬ = ▬▬▬▬▬▬
...... r ...... 1 + √ 5

........................ __
..... 25 ... 10 - 2√ 5
..... ▬ = ▬▬▬▬▬
...... r² ... (1 + √ 5)²


........................ __
..... 25 ... 10 - 2√ 5
..... ▬ = ▬▬▬▬
...... r² ... 6 + 2√ 5


Sacando "mitad" :

.................... __
..... 25 ... 5 - √ 5
..... ▬ = ▬▬▬
...... r² .. 3 + √ 5

.................... __ ....... __
..... 25 ... 5 - √ 5 . 3 - √ 5
..... ▬ = ▬▬▬ . ▬▬▬
...... r²... 3 + √ 5 . 3 - √ 5


........................ __ .... __
..... 25 ... 15 - 5√ 5 - 3√ 5 + 5
..... ▬ = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬
...... r² ......... 3² - √ 5²

........................ __
..... 25 ... 20 - 8√ 5
..... ▬ = ▬▬▬▬
...... r² ....... 4


Sacando "cuarta" :

..... 25 .......... __
..... ▬ = 5 - 2√ 5
...... r²

.............. 25
..... r² = ▬▬▬
........... 5 - 2√ 5

................................... __
.............. 25 ...... 5 + 2√ 5
..... r² = ▬▬▬ . ▬▬▬▬
........... 5 - 2√ 5 . 5 + 2√ 5

........... 25(5 + 2√ 5)
..... r² = ▬▬▬▬▬
............ 5² - (2√ 5)²

........... 25(5 + 2√ 5)
..... r² = ▬▬▬▬▬
.................. 5

Sacando "quinta" :
....................... __
..... r² = 5(5 + 2√ 5)

........................ __
..... r² = 25 + 10√ 5

............ _________
........... / ........... __
=> r = √ 25 + 10√ 5

=> Como la medida del diametro es el doble de la del radio (r).

=> D = 2r

................ _________
............... / ........... __
=> .D = 2√ 25 + 10√ 5
.. ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬/