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  • Usuario de Brainly
2013-12-14T01:03:15+01:00
Metodo al absurdo:( contradiccion)


Demostrar que √7 , es un numero irracional.

Imaginemos que √7 , es en realidad, un numero racional , entonces por definicion, al ser un numero racional, la raiz de 7, se podra expresar como la division de dos numeros enteros, a los que llamaremos "a" y "b"
Entonces:

√7 = a/b

Donde: a y b, son primos entre si. [Esto es para indicar que la fraccion a/b,
                                                   es irreductible]

          a ≥ 0  ; b>0 [por ser el resultado de una raiz]

Mucho ojo  con el dato en negrita.

Elevamos ambos miembros al cuadrado: (²)

7 = a²/b²

7a² = b²

Observa: Si b², es el resultado del producto de 7a², podemos afirmar con certeza de que : b² , es un multiplo de 7, y por lo tanto: b, tambien lo será:

Entonces: b = 7k , donde: k es una constante que pertenece a los numeros naturales.

Luego reemplazamos:

7a² = (7k)²
7a² = 49k²
a² = 7k²

De lo cual , se deduce que a² ,es un multiplo de 7, y a su vez, a , tambien será, un multiplo de 7.

Ahora analiza:

Hemos concluido dos cosas:

Que "b", es un multiplo de 7  y que "a", es un multiplo de 7, entonces, ambos tienen un factor comun que es 7.

Ahora, si te fijás bien, al inicio acordamos de que "a" y "b" , son numeros primos entre si (PESI) , es decir que NO TIENEN NINGUN FACTOR EN COMUN.

Asi que querido amigo lector de misdeberes.es , hemos llegado a una contradiccion. Por lo cual podemos afirmar que no existe forma alguna de que √7 , sea un numero racional.

Entonces, si √7 , no es un numero racional , por simple logica, tendra que ser un numero irracional [no puede ser expresador como la division de dos numeros enteros]

Eso fue todo por hoy ;)