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2013-12-12T07:05:24+01:00
La fórmula para calcular el volumen de un tetraedro sabiendo la arista es la siguiente:

V =    \frac{ a^{2} \sqrt{2}  }{12}  ("a" de arista)


Pero como no sabemos la medida de la arista, la calculamos sabiendo la otra fórmula de volumen y la igualamos con la fórmula nombrada anteriormente:

V =  \frac{Area base*Altura}{3} =  \frac{1}{3} *  \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} *2 \sqrt{3}  \\  \\ V =  \frac{a^3 \sqrt{2} }{12}


Igualamos y resolvemos:

 \frac{1}{3}* \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}*2 \sqrt{3}=  \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} \\  \\  \frac{1* a^{2} \sqrt{3}*2 \sqrt{3}   }{3*4} =  \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} \\  \\ \frac{2 a^{2} \sqrt{3} ^2}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} \\  \\  2a^{2}*3 = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} *12 \\  \\ 6 a^{2} = a^3 \sqrt{2} \\  \\  \frac{6}{ \sqrt{2} } =  \frac{a^3}{a^2}  \\  \\ 6 \sqrt{2}=a

Pero no puede quedar una raiz en el denominador, entonces racionalizamos:

 \frac{6}{ \sqrt{2} } = \frac{6}{ \sqrt{2} }*  \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{6 \sqrt{2} }{ \sqrt{2}^2 }=   \frac{6 \sqrt{2} }2=3 \sqrt{2}


Ahora que sabemos la medida de la arista, calculamos el volumen del tetraedro:

V =  \frac{a^3 \sqrt{2} }{12}  \\  \\ V= \frac{(3 \sqrt{2})^3 \sqrt{2}  }{12}  \\  \\ V= \frac{27 \sqrt{2}^3 \sqrt{2}  }{12}  \\  \\ V =  \frac{27 \sqrt{2}^4 }{12} \\  \\ V= \frac{27*4}{12} \\  \\ V=9

RTA: El volumen es de 9 u³, o sea, la opción "c".

(Puse "u" porque el problema no aclara si la medida es en mm, cm, m, etc.)


Saludos desde Argentina.