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2012-05-30T21:28:42+02:00

El estado actual de los métodos para resolver el cálculo de los autovalores de una
matriz es el resultado continuado de pequeños pasos. En el presente escrito se van a
describir todas aquellas ideas que aun siguen en vigor contribuyendo en el desarrollo de potentes algoritmos numéricos, fruto de la investigación del problema durante el siglo XX.
El problema a tratar es el de las soluciones no triviales de la ecuación Ax=λx, donde
A representa una matriz cuadrada nxn, λ es un autovalor y x un autovector asociado a λ.
Teóricamente, el problema es equivalente a resolver: det(A-λI)=0 dando lugar al
polinomio característico cuyas raíces son los autovalores buscados. Tal estrategia sólo puede seguirse en casos muy especiales, pues dicho método es muy inestable; pequeños cambios en los coeficientes del polinomio dan lugar a grandes cambios en las λi.
Dicho planteamiento sirve, sin embargo, para darnos cuenta de que, al contrario que
ocurría con la resolución de sistemas lineales, todo método utilizado para hallar los
autovalores de una matriz general debe ser de naturaleza iterativa, ya que el teorema de Abel-Ruffini nos demuestra la imposibilidad de hallar las raíces de un polinomio general de grado mayor que 4 mediante un algoritmo en un número finito de pasos.
Esto no quiere decir que no podamos dar respuesta al problema, pues se han
desarrollado numerosos algoritmos numéricos que calculan con gran aproximación los
autovalores y autovectores cuya velocidad de convergencia es rápida.  La elección de un algoritmo u otro, se realiza considerando aspectos sobre la estructura y propiedades de la matriz A (si es simétrica, real, Hermitiana, hemisimétrica,
unitaria, densa, rala,) y según los resultados que busquemos (autovalores de mayor  

módulo, o los de menor módulo, la parte real de los autovalores negativos, si deseamos también los autovectores...).
Una vez abordado el problema inicial, las soluciones numéricas halladas arrojan luz
sobre problemas más generales: Ax=λBx, y el problema de autovalores cuadrático:
Ax+λBx+λ Cx=0.

 

ESPERO QUE TE SIRVA =)



2012-05-30T21:29:15+02:00

El estado actual de los métodos para resolver el cálculo de los autovalores de una 
matriz es el resultado continuado de pequeños pasos. En el presente escrito se van a 
describir todas aquellas ideas que aun siguen en vigor contribuyendo en el desarrollo de potentes algoritmos numéricos, fruto de la investigación del problema durante el siglo XX. 
El problema a tratar es el de las soluciones no triviales de la ecuación Ax=λx, donde 
A representa una matriz cuadrada nxn, λ es un autovalor y x un autovector asociado a λ.
Teóricamente, el problema es equivalente a resolver: det(A-λI)=0 dando lugar al 
polinomio característico cuyas raíces son los autovalores buscados.espero haberte ayudadoo..!!besos