Respuestas

2013-11-23T19:13:11+01:00
PASO 1: ENUNCIAR UNA SITUACIÓN DE LA VIDA COTIDIANA 
Juanita va a la papelería y compra dos lápices (2X) y tres gomas (3Y) por $ 10.00. Minutos después Pedro paga $ 16.00 por tres lápices (4X) y siete gomas (7Y). ¿Cuál es el precio de cada artículo? 

PASO 2: DECLARACIÓN DE VARIABLES 
Asumiendo que X=lápiz e Y=goma, basta hacer la sustitución de palabras por las variables que hemos declarado (esta sustitución son los términos que coloqué entre paréntesis); después de todo, una variable no es más que la abreviatura de una palabra o una serie de palabras. 

PASO 3: PROPONER UN MODELO MATEMÁTICO 
El problema se resuelve mediante un sistema de ecuaciones: 
(L1): 2X+3Y=10, ........................................... (1) 
(L2): 4X+7Y=16. ........................................... (2) 

PASO 4: EXPRESAR EL MODELO DE UNA FORMA CONVENIENTE PARA SU ANÁLISIS 
Para resolver el sistema por el método gráfico es necesario despejar una de las variables en función de la otra; tradicionalmente esto se hace dejando Y libre. 

(L1): Y=(10-2X)/3 = 10/3 - (2/3)X 
(L1): Y= -(2/3)X+10/3 .............................. (3) 

(L2): Y=(16-4X)/4 = 16/4 - (4/4)X 
(L2): Y= -X+1 ........................................... (4) 

PASO 5: ANALIZAR LAS CARACTERÍSTICAS DEL MODELO 
Procedemos a estudiar las características geométricas de las rectas definidas por las ecuaciones (3) y (4), teniendo en mente que la ecuación de una recta de pendiente m y ordenada al origen b es y=mx+b. 

(3): m1=-2/3, b1=10/3. Recta de inclinación α dada por m1=tan α; 
en consecuencia, α=arc tan (m1)=arc tan (-2/3)=-34º. 
Conclusión: recta de inclinación -34º que corta al eje Y en (0,b1)=(0,10/3)=(0,3.3). 

(4): m2=-1, b2=1. Recta de inclinación β dada por m2=tan β; 
en consecuencia, β=arc tan (m2)=arc tan (-1)=-45º. 
Conclusión: recta de inclinación -45º que corta al eje Y en (0,b2)=(0,1). 

PASO 6: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL MODELO 
Para trazar las rectas localizas los puntos P1=(0,b1) y P2=(0,b2) en el plano cartesiano, trazas una paralela al eje X que pase por (0,b1), a la que llamaremos M1, y una paralela al eje X que pase por (0,b2), a la que llamaremos M2. En la recta M1 mide el ángulo α=-34º; es decir, un ángulo Θ1=180º-34º=146º, y en la recta M2 mide el ángulo β=-45º; es decir, un ángulo Θ2=180º-45º=135º. 

Ahora es fácil trazar L1 y L2. Para (L1) localiza el punto P1=(0,3.3) y "sal" de ese punto con inclinación Θ1=146º; para (L2) localiza el punto P2=(0,1) y "sal" de ese punto con inclinación Θ2=135º. 

La solución de la situación inicial es el punto P=(x,y) donde se corten las rectas (L1) y (L2). 

PASO 7: ESTUDIAR RUTAS ALTERNATIVAS DE SOLUCIÓN 
Es posible representar las rectas del PASO 3 en su forma normal. 

(L1): 2X+3Y=10 
(L1): 2X/10 + 3Y/10=10/10=1 
(L1): X/5 + Y / (10/3) =1 ........................... (5) 

(L2): 4X+7Y=16 
(L2): 4X/16 + 7Y/16=16/16=1. 
(L2): X/4 + Y/ (16/7) =1 ............................. (6) 

La ecuación (6) define una recta (L1) que pasa por los puntos A1=(5,0) y B1=(0,10/3)=(0,3.3), mientras que la ecuación (6) determina a (L2), que pasa por los puntos A2=(4,0) y B2=(0,16/7)=(0,2.3). ¿Cómo obtuvimos estos puntos? Simplemente haciendo X=0 y posteriormente Y=0 en las ecs. (5) y (6).