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¡La mejor respuesta!
2013-11-16T03:46:10+01:00
Calcular el volumen del solido que limitado por el paraboloide: z= x^{2} +y^{2}
 y el plano: z = 4
Usando coordenas cilindricas tenemos: 
x=rcos \alpha ; y=rsen \alpha z=z
Luego:
           
 z= x^{2} +y^{2}
            4= (rcos \alpha)^{2} +(rsen \alpha)^{2}
            4= r^{2}
            r= 2

Luego :  r ∈ [0; 2] y  \alpha ∈ [0; 2 \pi ]  ...(Ver el gráfico, Fig 2)

Del gráfico( Fig.1) :    x^{2} +y^{2} \leq z \leq 4
                               r^{2} \leq z \leq 4

Ademas se sabe que el Jacobiano de las Coor. Cilindricas es: r

Entonces: V=  \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 { \int\limits^4_{r^{2}} {r} \, dz } \, dr } \, d \alpha

Resolviendo las integral Triple:
V= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 { \int\limits^4_{r^{2}} {r} \, dz } \, dr } \, d \alpha

 = \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 {r(4-r^{2})} \, dr } \, d \alpha

= \int\limits^{2 \pi }_0 { \int\limits^2_0 {(4r-r^{3})} \, dr } \, d \alpha

= \int\limits^{2 \pi }_0 {{(2r^{2}- \frac{r^{4}}{4})|^{2}_{0}} \, d \alpha

= \int\limits^{2 \pi }_0 {(2(2)^{2}- \frac{(2)^{4}}{4})} \, d \alpha

= \int\limits^{2 \pi }_0 {4} \, d \alpha

= 4( \alpha )|^{2 \pi }_{0}

= 4( 2 \pi -0)

= 8 \pi

Por tanto el Volumen del solido limitado por el Paraboloide: z= x^{2} +y^{2} y el plano: z=4, es:
                             V= 8 \pi
    
      


Haber la verdad no recordaba muy bien; espero no haberme equivocado al operar. Espero te ayude.
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