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2013-11-07T23:41:21+01:00
En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Ecuaciones polinómicas enterasLas ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.Grado de una ecuaciónEl grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.Tipos de ecuaciones polinómicas1. Ecuaciones de primer grado o linealesSon del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.(x + 1)2 = x2 - 2x2 + 2x + 1 = x2 - 22x + 1 = -22x + 3 = 0 2. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticasSon ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
ax2 + b = 0ax2 + bx = 03. Ecuaciones de tercer gradoSon ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.4. Ecuaciones de cuarto gradoSon ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.Ecuaciones bicuadradasSon ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.5. Ecuaciones de grado nEn general, las ecuaciones de grado n son de la forma:a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0
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SISTEMAS DE ECUACIONES

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes.

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Existe Unicamente una solucion.
Existe una cantidad infinita de soluciones.
No existe solucion.
Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

Sustitución
Igualación
Reducción

 

Método de sustitución

Sea el sistema



Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x

y  =  11 - 3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".

5x - (11-3x)  =  13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente

5x – 11 + 3y  =  13
5x + 3x  =  13 + 11
8x  =  24
x  =  3 

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y  =  11 - 3x
y  =  11 - 9
y  =  2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

Método de igualación

Sea el sistema  



Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita



Igualamos ambas ecuaciones

11 - 3x  =  -13 + 5x
8x  =  24
x  =  3

Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y  =  11 - 9
y  =  2

Método de reducción

Sea el sistema



Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así nomás se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:

Para este ejemplo eliminamos "y"

 



 

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos

y = 2

Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el numero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.