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2013-11-07T17:49:28+01:00
El máximo común divisor de dos enteros m y n es el mayor entero que divide a ambos simultáneamente, y se suele denotar como mcd(m,n) o simplemente, cuando no hay duda por el contexto, como (m,n). Por ejemplo, el máximo común divisor de 8 y 12 es mcd(8,12)=4. El máximo común divisor es siempre positivo. Cuando los enteros cuyo máximo común divisor se factorizan de forma sencilla, la manera habitual de calcular el máximo común divisor consiste en tomar los factores primos comunes a m y n, con el menor de los exponentes con el que aparecen. Así, como 8=23 y −12=−22×3, el único factor primo común es 2, apareciendo en −12 con el menor exponente 2, de ahí que mcd(8, −12)=22=4. Un caso sencillo del cálculo del máximo común divisor se da cuando uno de los enteros es múltiplo del otro; así, si m divide a n, entonces mcd(m,n)=|m|. La definición de máximo común divisor se aplica también a más de dos enteros, siendo en cualquier caso el mayor entero que divide a todos ellos simultáneamente, y pudiendo nuevamente calcularse como el producto de los factores primos comunes a todos los enteros, con el mínimo exponente con el que aparecen. Así, el máximo común divisor de 2010=2×3×5×67, −15=−3×5 y 27=33 sería mcd(2010, −15,27)=3, pues no hay otro factor común a los tres, y aparece con exponente 1 tanto en 2010 como en −15. El máximo común divisor de más de dos números es el máximo común divisor de uno de ellos y el máximo común divisor de los demás. Por ejemplo, mcd(2010,−15,27)=mcd(mcd(2010,−15),27)=mcd(15,27)=3 :D