tema : DERIVADAS

1) Determina los puntos donde la tangente a la elipse x²+2y²=1 tienen pendiente 1.


2) El costo en dolares de producir X computadoras es T(x)=2+4x+x². Hallar la razon de cambio instantaneo T cuando X=2.

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Respuestas

  • Usuario de Brainly
2013-10-25T23:30:12+02:00
Solución: Te envío la gráfica de la elipse con los puntos donde la tangente tiene pendiente uno (1).
Ahora para encontrar los puntos se debe seguir el siguiente procedimiento analítico:

=>Derivación Implícita de la ecuación de la elipse, así:

=> X^2 + 2Y^2 = 1

=> 2x + 4YdY/dX = 0

=> 4YdY/dX = - 2X

=> dY/dX = -2X / 4Y

=> dY/dX = -x / 2y

Ahora con esta derivada a la igualas con el valor de  la pendiente, así:

=> - X / 2Y = 1

=> -X = 2Y

=> y = -(1/ 2) X............(ec.*)

Con la ecuació (*) la reemplaza en la ecuación de la elipse:

=> X^2 + 2(-(1/2)X)^2 = 1

=> X^2 + 2((1/4)X^2) = 1

=> X^2 + (1/2)X^2 = 1

=> [2X^2 + X^2] / 2 = 1

=> 3X^2 = 2

=> X^2= 2/3.........(sacando raíz cuadrada en ambos lados)
.................____
=> X = +- V(2/3)

Racionalizando tenemos:
.................__.....___.....__.....___
=> X = +- V(2) / V(3)  ( V(3) / V(3) )
.................__
=> X = +- V(6) / 3
........................__.........................__
Donde : X(1) = V(6) / 3   y X(2) = - V(6) / 3

Con estos valores lo reemplazo en la ecuación (*) para hallar los valores de "Y"
.................__
Y = -(1/2)(V(6) / 3
..............__
Y(1) = - V(6) / 6
............__
Y(2) = V(6) / 6

Por último reuniendo los puntos obtenidos anteriormente tenemos los puntos donde la tangente a la elipse X^2 + 2Y^2 = 1 tiene pendiente 1, son:

=> P(1): { V(6) / 3 ; - V(6) / 6 } =>RESPUESTA.

=> P(2): { V(6) / 3 ; V(6) / 6 } => RESPUESTA.

2) Debes derivar:

=> T'(x) = 4 + 2x 

Como para x=2 este valor se reemplaza en la derivada encontrada,así:

=> T'(2) = 4 + 2(2)

=> T'(2) = 4 + 4

=> T'(2) = 8
Por último se halla la razón de cambio instantáneo:

T(x) = [T(8) - T(2) ] / 8 - 2

T(x) = [ 98 - 14 ] / 6

T(x) = 84 / 6

T(x) = 14 => RESPUESTA.

Espero haberte ayudado. Suerte.
Nota: No dejan enviar imágenes, cuando la fui a enviar me arroja el siguiente mensaje: Ocurrió un error, por favor, intente más tarde. Lamento no poder enviar la gráfica