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  • Usuario de Brainly
2013-10-24T00:49:08+02:00
Dada\ una\ funcion\ f(x)\\ su\ derivada\ es:\\ \\f'(x)= \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ En\ nuestro\ caso:\\ \\f(x)=\sqrt{3x+6}\\ \\f(x+h)=\sqrt{3(x+h)+6} 

Entonces reemplazamos en la formula 

\lim_{h \to \ 0} \frac{\sqrt{3(x+h)+6}-\sqrt{3x+6}}{h}\ Multiplicamos\ al\ numerador\\ y\ denominador\ por\ el\ conjugado\ del\ numerador\\ \\ \lim_{h \to \ 0} \frac{(\sqrt{3(x+h)+6}-\sqrt{3x+6})}{h}\cdot\frac{(\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6})}{(\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6})}\\ \\\lim_{h \to \ 0} \frac{(\sqrt{3(x+h)+6})^2-(\sqrt{3x+6})^2}{h\cdot({\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6}})}\\ \\\lim_{h \to \ 0} \frac{(3(x+h)+6)-(3x+6)}{h\cdot({\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6}})}

\lim_{h \to \ 0} \frac{(3x+3h+6)-(3x+6)}{h\cdot({\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6}})}\\ \\\lim_{h \to \ 0} \frac{3x+3h+6-3x-6}{h\cdot({\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6}})}\\ \\\lim_{h \to \ 0} \frac{3h}{h\cdot({\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6}})}\\ \\\lim_{h \to \ 0} \frac{3}{\sqrt{3(x+h)+6}+\sqrt{3x+6}}}=\frac{3}{\sqrt{3(x+0)+6}+\sqrt{3x+6}}}\\ \\=\frac{3}{\sqrt{3x+6}+\sqrt{3x+6}}}=\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}=f'(x)


Como resultado final tenemos:

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}