Respuestas

2013-10-22T14:41:21+02:00
Entiendo que la gráfica la conforman dos semicircunferencias de radios r_1 \text{ y } r_2 con r_2>r_1. Entonces, las funciones que delimitan la figura vienen de la ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radios ya mencionados, de los cuales despejamos y:
Circunferencia exterior: x^2+y^2=r_2^2\to y=\sqrt{r_2^2-x^2}=f(x)
Análogamente, la circunferencia interior es: y=\sqrt{r_1^2-x^2}=g(x)
Según la fórmula del centroide, la coordenada y se calcula:
\displaystyle \bar{y}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \int_a^b \left[f(x)^2-g(x)^2\right]dx}{A}

Para el numerador:
\int_a^b \left[f(x)^2-g(x)^2\right]dx=\int_{-r_2}^{r_2} \left[r_2^2-x^2-r_1^2+x^2\right]dx=2(r_2^2-r_1^2)

Para el área: hacemos la diferencia de áreas entre la semicircunferencia grande y la pequeña:
A=\frac12 \pi (r_2-r_1)^2

Por tanto, la solución es:
\bar{y}=\frac{\frac12\cdot 2 \cdot (r_2+r_1)(r_2-r_1)}{\frac12\cdot (r_2-r_1)^2}=\frac{2\cdot(r_1+r_2)}{r_2-r_1}