Respuestas

2013-10-09T08:17:39+02:00
Una barra cilíndrica de 24cm. de largo tiene una masa de 1.2 Kg. y un radio de 1.5cm. 
Una bola de 20kg de 8.0cm. de diámetro esta unida a uno de los extremos.
El arreglo esta originalmente vertical con la bola en el extremo superior y tiene libertad de girar alrededor del otro extremo.

Después que el sistema Bola-Barra ha recorrido un cuarto de giro,¿Cuáles son:
a. La Energía Cinética Rotacional
b. La Velocidad angular
c. La Velocidad lineal de la bola
d. ¿Como se compara la velocidad lineal de la bola con la velocidad si la bola hubiera caído libremente desde una distancia igual al radio (28cm) ?

SOLUCION 

La energía total es:

E = Ep + Ecl + Ecr = m g h + ½ m v² + ½ I ω² = constante

donde:
Ecl = energía cinética lineal;
Ecr = energía cinética rotacional;
Ep = energía potencial.

Lo calculamos para el centro de masa del conjunto, o lo que es lo mismo, tomando cada elemento (barra y bola) por separado, pero sin olvidar que se mueven conjuntamente, por lo cual la velocidad angular variará pero no entre sí, es decir, bola y barra mantendrán siempre mismo ángulo respecto del punto de rotación y misma velocidad angular.

Entonces:

E = m1 g h1 + m2 g h2 + ½ m1 v1² + ½ m2 v2² + ½ I1 ω1² + ½ I2 ω2²

pero además:
ω1 = ω2 => v1 / r1 = v2 / r2 => v2 = v1 r2/r1 y podemos poner:

E = (m1 h1 + m2 h2) g + ½ m1 v1² + ½ m2 v1² (r2/r1)² + ½ (I1 + I2) v1² / r1²

que nos permite:
► calcular todo en función de v1 y despejarla, sabiendo de antemano o calculando antes los momentos de inercia I1 e I2, y E inicial sabiendo que v y ω iniciales son nulas;
► calcular ω1 = ω2 a partir de la velocidad lineal;
► las energías rotacionales de cada componente o la total a partir de ω final (ω1 = ω2)

I1 = momento de inercia respecto del punto de rotación de la bola.
Se puede calcular por el teorema de Steiner:

I1 = I1o + L1² m1, siendo el sub-cero el baricéntrico Io = (2/5) m R²

La bola tiene R1=8 cm y m1 = 20 kg => I1o = 0.0512 kg m²
L1 = L2 + R1 = la longitud de la barra más el radio de la bola = 24 cm + 8 cm = 0.32 m

I1 = 0.0512 kg m² + 20 kg . 0.32² m² = 2.0992 kg m²

I2 = ⅓ m2 L2² = ⅓ 1.2 kg . 0.24² m² = 0.02304 kg m²

Inicialmente:
Eo = Ep1o + Ep2o = g (m1 h1 + m2 h2) = 9.8 m/s² (20kg . 0.32m + 1.2 kg . 0.12 m) = 64.1312 J

y se mantendrá constante. Al girar 1/4 de vuelta hasta la posición horizontal, la energía potencial la consideramos nula y queda:

E = ½ m1 v1² + ½ m2 v1² (r2/r1)² + ½ (I1 + I2) v1² / r1²

No me queda tiempo, pero de ella despejás v1² y aplicando la raíz te queda la velocidad v1, teniendo todos los demás datos.

Con v1 y r1 (r1 = L1, o sea, no el radio de la esfera sino el de giro, de 32 cm) obtenés:
ω1 = ω2 = v1 / L1 (ó v1/r1)

Con v1 también se obtiene v2 y teniendo ω1 = ω2 se calculan las Ec rotacionales (en realidad no piden v2 porque piden la velocidad lineal de la bola que llamé v1).

Para comparar se toma v1' = √(2 g h1) = √(2g L1) como velocidad de caída libre de la bola y se comparan v1 con v1'. Será mayor v1' porque es distinta la repartición de energías.