Holaa necesito ayuda con este ejercicio porfaa en integración por sustitucion 6x^2.senx^3 dx...... es urgente quien me ayuda?

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ajam mas la constante por ser indefinida
Lo hice en borrador :D, lo voy a poner aca mejor, un momento.
ah esta bien .. gracias :)
:)
Despues de años..... xD , Lo que pasa que en plena escritura actualice por error -.-

Respuestas

2013-09-29T19:37:51+02:00
Integracion por sustitucion:

 \int\limits {6x^{2}senx^{3}}\, dx

Sustituimos senx^3 = t ; luego:

x^{3}=ArcSen(t)   ---->  x= \sqrt[3]{ArcSen(t)}

dx= \frac{1}{3}(  \frac{ \frac{1}{ \sqrt{1-t^{2}} } }{ \sqrt[3]{ArcSen(t)}^{2} })dt=\frac{1}{3}( \frac{dt}{ \sqrt[3]{ArcSen(t)}^{2} (\sqrt{1-t^{2}}) })

Luego la integral quedaria:

 \int{6x^{2}senx^{3}}\, dx=6 \int{ \sqrt[3]{ArcSen(t)}^{2}[\frac{1}{3}( \frac{1}{ \sqrt[3]{ArcSen(t)}^{2} (\sqrt{1-t^{2}}) })]t } \, dt

= \frac{6}{3}  \int{ [( \frac{\sqrt[3]{ArcSen(t)}^{2}}{ \sqrt[3]{ArcSen(t)}^{2} (\sqrt{1-t^{2}}) })]t } \, dt

= 2\int{( \frac{t}{(\sqrt{1-t^{2}}) }) } \, dt  ......(*)

Luego hacemos:  sen\alpha=t  ----->  dt=cos \alpha d \alpha

y tambien:  \alpha =ArcSen(t)

Ademas como  sen\alpha=t ; entonces: tg \alpha = \frac{t}{ \sqrt{1-t^{2}} }

Luego la integral (*) quedaria:

= 2\int{( \frac{t}{(\sqrt{1-t^{2}}) }) } \, dt=2 \int{(tg \alpha })(cos \alpha)  \, d \alpha

Pero: (tg \alpha })(cos \alpha)=sen \alpha

2 \int{(tg \alpha })(cos \alpha) \, d \alpha = 2\int {sen \alpha } \, d \alpha

=-2cos \alpha +C_{1}

Pero:  \alpha=ArcSen(t)   y  t = Senx^{3}

Entonces:  \alpha =ArcSen(senx^{3})=x^{3}

Luego: -2cos \alpha +C_{1} = -2cosx^{3} + C

Por tanto: 

 \int{6x^{2}Senx^{3}} \, dx = -2cosx^{3} + C
vaya pero porque se utiliza arcsen?
Porque senx^3=t , entonces arcsen(t) = x^3.
mmm y porque igual a t?
A pues sustitui nada mas, puede ser cualquier otra variable
ah vale .. gracias ;)