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2013-09-25T21:08:46+02:00
Definición de inyectividad:
Una función es inyectiva si para todo elemento de la IMAGEN, existe un ÚNICO elemento en el dominio con el cual está relacionado.
Esta definición es difícil de utilizar para el análisis de inyectividad de una función, por lo tanto se utiliza su equivalente:
f es inyectiva si f(x1) = f(x2) ==> x1 = x2

Definición de sobreyectividad:
Una función es sobreyectiva si para todo elemento del CODOMINIO, EXISTE algún elemento en el dominio con el cual está relacionado.
Esta definición es difícil de utilizar para el análisis de sobreyectividad de una función, por lo tanto se utiliza su equivalente:
Cod(f) = Im(f)
Pero para algunas funciones puede ser difícil buscar la imagen

Ej:
a) f(x) = 2x + 3
b) f(x) = 3(x-1)^2 + 5
c) f(x) = e^x + 3
d) f(x) = x^3 - x

Inyectividad
a) f(x) = 2x + 3
f(x1) = f(x2)
2x1 + 3 = 2x2 + 3
2x1 = 2x2 ==> x1 = x2 ==> f es inyectiva

b) f(x) = 3(x-1)^2 + 5
f(x1) = f(x2)
3(x1 -1)^2 + 5 = 3(x2 -1)^2 + 5
3(x1 -1)^2 = 3(x2 -1)^2
(x1 -1)^2 = (x2 -1)^2
lx1 -1l = lx2 -1l
x1 - 1 = x2 - 1 o bien x1 - 1 = - (x2 - 1)
x1 = x2 o bien x1 = - x2 + 2 ==> f No es inyectiva


c) f(x) = e^x + 3
f(x1) = f(x2)
e^x1 + 3 = e^x2 + 3
e^x1 = e^x2
ln(e^x1) = ln(e^x2)
x1 = x2 ==> f es inyectiva


d) f(x) = x^3 - x
Este es un caso difícil de analizar por las definiciones
Se suele analizar mediante una proposición que asegura que si una función continua y derivable es monótona en todo su dominio, entonces es inyectiva
Este es un polinomio de grado 3, es continua y derivable, f´(x) = 3x^2 - 1, que tiene dos raíces reales simples, por lo tanto tiene un máximo y un mínimo en ellos (hay que ver cual es cual) pero eso asegura que no es monótona, por lo tanto no es inyectiva.


Sobreyectividad

a) f(x) = 2x + 3
y = 2x + 3
y - 3 = 2x
(y - 3)/ 2 = x
Esta operación se puede hacer para todo "y" perteneciente a los reales ==> Im(f) = R
f es una función sobreyectiva

b) f(x) = 3(x-1)^2 + 5
y = 3(x-1)^2 + 5
y - 5 = 3(x-1)^2
(y - 5)/ 3 = (x-1)^2
V((y - 5)/ 3) = lx-1l^2
Esta operación sólo se puede hacer si
(y - 5)/ 3>=0
(y - 5) >=0
y >= 5 ==> Im(f) = [5 ; +oo) f NO es una función sobreyectiva sólo será sobtreyectiva si se define el codominio de esta manera



c) f(x) = e^x + 3
y = e^x + 3
y - 3 = = e^x
ln(y - 3) = x
Esta operación sólo se puede hacer si
y - 3>0
y > 3 ==> Im(f) = (3 ; +oo) f NO es una función sobreyectiva sólo será sobreyectiva si se define el codominio (3 ; +oo)


d) f(x) = x^3 - x
Sabiendo que es una funcíon polinómica de drado impar, se puede analizar que, para valores "muy grandes" negativos, esta tomará "valores muy grandes" negativos y para valores "muy grandes" positivos, esta tomará "valores muy grandes" positivos, por lo tanto f es sobreyectiva, pues Im(f) = R, pero es difícil de "calcular"


Consecuencias
a) f(x) = 2x + 3 es biyectiva

b) f(x) = 3(x-1)^2 + 5 no es inyectiva y no sobreyectiva. Para ser sobreyectiva, se acota el codominio a la imagen = [5;+00). Para ser inyectiva, se decide si trabajar con el intervalo (-00; 1] o [1 ; +00), que es el número que limita el poder trabajar con x1 = x2

c) f(x) = e^x + 3 es inyectiva pero no sobreyectiva. Para ser sobreyectiva, se acota el codominio a la imagen = (3;+00)

d) f(x) = x^3 - x NO es inyectiva , pero si sobreyectiva. Para ser inyectiva, se acota el dominio Un intervalo de monotonía cualquiera, pero en el momento que lo hagas, vas a tener que acotar el codomino a la imagen de aquellos valores del dominio con los que has decidido trabajar.