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2016-11-27T23:36:38+01:00

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Ejercicio 1 
Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) .... 
- Solución:
x2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y2 – y1 = 5 – (-3) = 13 

Ejercicio 2 
Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano.
Determine: 
Coordenadas del punto medio M del segmento 
Coordenadas del punto P sobre el segmento

- Solución
Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces: 
Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2) b) Como  entonces 
Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):   
Luego, las coordenadas del punto P, son: P

Ejercicio 3 
Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r.
- Solución: 
Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .
Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) .
Es decir y = x 
Igualmente, para la recta m, se tiene: y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r. 

Ejercicio 4 
Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r .
- Solución:
Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. 
Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1. 
Para la recta m, b = 1
Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m. 
También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2. Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir, 0 = 2m – 2 , de donde m = 1. Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n. 
Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.
 

 
Ejercicio 5 
Determine las ecuaciones de las rectas l y r.

- Solución:
Para la recta l, se tiene: y – 3 = ml (x + 1). 
Pero ml = tan 135º = - tan 45º = -1 Luego, y – 3 = - (x + 1) ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l. Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1). 
Pero, mr = x
Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r. 

Ejercicio 6 
Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y
- Solución:
La ecuación de l viene dada por: 
3y – 9 = 2x – 2 o también, 
2x – 3y + 7 = 0 (1)
 
La ecuación (1) corresponde a la recta pedida. Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo: 

Ejercicio 7 
Escribir las ecuaciones de las l, , l2 , l3 , y l4.

- Solución:
Para l1 se tiene: a = 1, b = -1 
Luego, es la ecuación de l1, es decir, 
x – y = 1 
Para l2 : , de donde 
Para l3 : , es decir, x + y = 1 
Finalmente, para l4 de donde x + y = -1 

Ejercicio 8 
Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1)

- Solución:
Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1). 
Como P1 y P2 pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es: 
A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2) A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3) 
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos: y 
Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene: ó Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.
 

Ejercicio 9 
Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar: 
a)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l. 
b)    La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l. 
- Solución
Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2). 
Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y l2 respectivamente. 
   Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m1 = -3/4. 
Ahora, usando la forma punto – pendiente (Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l1: 
y simplificándola se puede escribir en la forma general: 
3x + 4y – 11 = 0
 
b) Como l2 u l1 , entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m2 = 4/3. Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l2: y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0 
3x + 4y – 11 = 0