una pelota sale rodando por el borde de una escalera con una velocidad horizontal de 1,08 m/s si los escalones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho cual sera el primer escalón que toque la pelota ?

Dos cuerpos a y b se dejan caer simultáneamente desde una altura h pero el cuerpo b choca durante su recorrido con un plano inclinado 45º el cual le proporciona una velocidad horizontal Vx cual de los dos llega primero al suelo ? porque ?


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Respuestas

2013-08-28T04:40:22+02:00
Vamos a tomar como origen de coordenadas, el borde del escalón en el que la pelota abandona la escalera, y como ejes OX y OY, la horizontal y vertical, respectivamente, que pasan por dicho punto.

Las ecuaciones del movimiento de la pelota son:
A lo largo del eje OX,

x = v₀ t

ya que el movimiento es uniforme, puesto que ninguna fuerza se opone a su movimiento, suponiendo que no se tiene en cuenta el rozamiento del aire.

A lo largo del eje OY,

y = (1/2) gt²

despejando t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se obtiene,

y =gx²/2v₀²

Y ahora viene la explicación más complicada, no por su dificultad, sino porque sería más fácil con una figura.

Vamos a ver:

Puesto que los escalones tienen igual anchura que altura, en el punto del escalón en que golpee la pelota habrá descendido una distancia igual a un múltiplo de 18 cm, y la distancia horizontal será asimismo
igual o menor que ese múltiplo, porque la pelota puede golpear en el centro del escalón, o justo en el borde, o por el contrario más próximo al tramo vertical que le une con el peldaño anterior.

Podría ocurrir que pasase justo rozando el borde y en ese caso los dos múltiplos serían iguales. pero el problema habla de "tocar" en un escalón.
De modo que como caso extremo

y = 0,18 n
x = 0,18 n

siendo n un número natural.

Así que

x = y

Sustituyendo en

y =gx²/2v₀²

x = gx²/2v₀²

simplificando y despejando x

x = 2*(1,08)²/9,8 = 0,238 m = 23,8 cm.

y como cada escalón tiene un anchura de 18 cm, esto significa que la pelota golpearía en el segundo peldaño a 5,8 cm del tramo vertical que lo une con el primer peldaño, o lo que es igual, a 12,2 cm del borde de dicho escalón.

PERO

Todo este cálculo se ha hecho en el supuesto de que x e y fueran iguales que, evidentemente, no lo son, puesto que si la pelota golpea en el segundo escalón para un valor de x = 23,8 cm

resulta que

x = 23,8 cm
y = 36 cm

De modo que este método es una primera aproximación que nos permite saber que la pelota golpea en el segundo escalón. Para conocer exactamente el punto del impacto, basta despejar x en la ecuación

y =gx²/2v₀²

x = √ 2v₀²y/g

y sustituyendo y = 0,36 m se obtiene

x = 0,292 m = 29,2 cm

Es decir a 11,2 cm del borde del segundo escalón.
La posición exacta del punto en que golpea la pelota es el punto P de coordenadas

P(29,2 , 36)

bien entendido que se considera en este caso el sentido positivo del eje OY hacia abajo.

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