Por favor este es de urgen !!!!!!!

Dado el vector A= 4i + 5j -
2k y conociendo que la magnitud B = 10 m y que sus angulos directores son Alfa
60 grados, Beta mayor que 90 grados, Gama 120 grados, determine el angulo que
forma el vector A - B con el vector B







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Respuestas

2013-08-28T08:21:44+02:00

Esta es una respuesta certificada

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Primero vamos a determinar las componentes del vector \vec B:

cos\ \alpha = \frac{B_x}{B}\ \to\ B_x = B\cdot cos\ \alpha = 10\cdot cos\ 60 = 5

cos\ \gamma = \frac{B_z}{B}\ \to\ B_z = B\cdot cos\ \gamma = 10\cdot cos\ 120 = - 5

Los cosenos directores deben cumplir la siguiente condición:

cos^2\ \alpha + cos^2\ \beta + cos^2\ \gamma = 1

Como los valores de los cosenos están al cuadrado, vemos que el cos\ \beta = \frac{\sqrt 2}{2}. Pero debe ser negativo porque nos dicen que es un ángulo mayor que 90º. Puede ser 225º o 315º, porque ambos ángulos cumplen con ambas condiciones.

B_y = 10\cdot \frac{\sqrt 2}{2} = - 5\cdot \sqrt 2

Hacemos ahora el vector \vec C = \vec A - \vec B:

\vec C = (4-5)\vec i + (5 + 5\sqrt 2)\vec j + (2+5)\vec k

Por comodidad trabajamos con números decimales para la componente "y" y calculamos el módulo de C:

C = \sqrt{1^1 + 12,07^2 + 7^2} = 13,99 (Al estar al cuadrado siempre nos queda positivo)

Ahora hacemos el producto escalar de los vectores \vec B y \vec C. Hay dos formas de hacer ese producto escalar:

\vec B\cdot \vec C = B\cdot C\cdot cos\ \theta

\vec B\cdot \vec C = B_x\cdot C_x + B_y\cdot C_y + B_z\cdot C_z

Igualando ambas expresiones y despejando cos\ \theta:

cos\ \theta = \frac{B_x\cdot C_x + B_y\cdot C_y + B_z\cdot C_z}{B\cdot C} = \frac{125,36}{139,9}\ \to\ \theta = \bf 26,35^\circ

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