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2013-08-27T02:24:41+02:00
Si se lanza algo verticalmente hacia arriba tendrá la misma rapidez cuando regrese al punto de lanzamiento que cuando se soltó.Y si se desprecian los efectos del aire.... el tiempo del vuelo será el doble del tiempo de subida.  Demostración de que el tiempo de subida es igual al de bajada y por tanto el de vuelo es el doble de cualquiera de ambos.

En la subida, tenemos:

h(t) = h(0) + v (0)*t - 1/2*g*t^2
v(t) = v(0) + g*t

siendo:

h(t) la altura en el instate t
h(0) la altura inicial, que es 0
v(0) la velocidad inicial en vertical, es positiva porque va para arriba
g la aceleración de la gravedad, constante, es negativa porque va para abajo
t el tiempo

En la altura máxima, la velocidad vertical es cero, y por tanto si llamamos tsubida al tiempo que tarda en llegar a la la altura máxima, se cumple:

v(tsubida) = 0 = v(0) + g*tsubida=> v(0) = g*tsubida (fórmula 0)

Y sustituyendo en la fórmula de la altura, la altura máxima, hmax, será:

hmax = h(tsubida) = g*tsubida*tsubida - 1/2*g*tsubida^2 = g*tsubida^2 - 1/2*g*tsubida^2 =>

hmax = 1/2*g*tsubida^2 (formula 1)

Ahora, la bajada es una caida desde hmax que se inicia con velocidad igual a cero y aceleración constante igual a g. Se cumple por tanto

v(t) = - g*t
h(t) = hmax - 1/2*g*t^2 

Si llamamos tbajada al tiempo que tarda en llegar abajo, en tbajada la altura será cero, es decir:

h(tbajada) = 0 = hmax - 1/2*g*tbajada^2.

Es decir, se cumple:

hmax = 1/2*g*tbajada^2 (fórmula 2)

Pero como hemos visto antes en fórmula 1, se cumple también:

hmax = 1/2*g*tsubida^2 

Es decir:

hmax = 1/2*g*tsubida^2 = 1/2*g*tbajada^2e

Y simplificando:

tsubida = tbajada 

O lo que es igual:

tvuelo = tsubida + tbajada = 2*tsubida = 2*tbajada (como queríamos demostrar)

Demostaración de que la rapidez al llegar abajo es igual que la inicial (misma velocidad pero de signo contrario):

Como hemos visto antes, la bajada es un movimiento uniformemente acelerado que se inicia en hmax, con velocidad 0 y aceleración g. Su velocidad en el tiempo cumple:

v(t) = - g*t

Y para t=tbajada

v(tbajada) = - g*tbajada

Y como hemos visto que tbajada = tsubida, tenemos:

v(tbajada) = - g*tsubida

Y por otra parte, vimos al principio en la fórmula 0 que v(0) = g*tsubida, es decir:

v(tbajada) = - g*tsubida = - v(0)

Es decir, la velocidad en el final de la caida es igual que al principio sólo que con signo contrario y por tanto la rapidez es igual en ambos casos como queríamos demostrar.