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2013-08-20T03:48:44+02:00
El rectángulo de mayor área, matemáticamente sería el cuadrado.
Ante un círculo de radio 'r' conocido, sería:
x^2 + y^2 = r^2
Despejando 'y' (puede ser 'x' y sale igual):
y = (r^2 - x^2)^1/2
El área del rectángulo: A = b*h, pero para que sea máximo, la base y la altura tendrían que ser prácticamente idénticas.
 En términos del plano, la base b = 2x, mientras la altura h= 2y.
A = (2x)(2y) = 4xy
Sustituyendo la expresión del círculo:
A = 4x(r^2 - x^2)^1/2
Derivando:
dA/dx = (4r^2 - 8x^2)/[(r^2 - x^2)^1/2]
El radio 'r' se toma como constante dado que es conocido.
 Para obtener el máximo, se iguala a cero:
dA/dx = 0
4r^2 - 8x^2 = 0
Despejando,
x = r/2^1/2 ('r' entre raíz de dos)
Sustituyendo en la expresión despejada de 'y' que se obtuvo del círculo y reduciendo términos:
y = r/2^2 ('r' entre raíz de dos)
Salieron iguales, por tanto es un cuadrado. Si te fijas, aquí lo que te indica es que para una área máxima, los valores de x,y corresponden al punto donde el radio forma un ángulo de 45° con el eje x, dado que:
x = r sen45°, y = r sen45° (sen 45° = 1/2^1/2, uno entre raíz de dos).
Entonces, el área máxima es:
A = 4xy; Amax = 4 (xmax) (ymax) = 4 (r/2^1/2)(r/2^1/2)
A máx = 2 r^2