Respuestas

2013-07-12T08:35:07+02:00
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.


Los métodos de igualación
, sustitución
 y reducción
 consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).


A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.


Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo

5x - 3y = 2
\\
3x - 4y = -1
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

15x - 9y = 6
\\
-15x + 20y = 5

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

11y = 11
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es

y = 1
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la 
x desaparezca al sumar ambas ecuaciones.


Sutituyendo  y  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

5x - 3 = 2
que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es   
x = 1.

] Método de igualación


El método de igualación consiste en lo siguiente:


Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

a = b
\\
a = c
donde 
a, 
b, y 
c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).


De las dos igualdades anteriores se deduce que

b = c
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en 
a ni en 
b, entonces la ecuación

b = c
no contendría dicha incognita.


Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos 
x .


Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye 
x por su solución en otras ecuaciones dode aparezca 
x para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

[editar
] Ejemplo

El sistema de ecuaciones
<pre> 2x - 3y = -1
\\
2x + 4y = 6
</pre>
<p>\end{array}
\right.
es equivalente a este otro

<pre> 2x = -1 + 3y
\\
2x = 6 -4y
</pre>
<p>\end{array}
\right.
El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en 
y del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.


Del segundo sistema se deduce que

-1 + 3y = 6 - 4y
que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es   
y = 1.


Sustituyendo 
y por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

2x - 3 = -1
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es   
x = 1.

[editar
] Método de sustitución
Entonces podemos despejar 
a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.t


Aqui   
a, \, b, \, c, \, d, \, e    y   
f   son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.

[editar
] Ejemplo


Intentemos resolver

4x + 3y = 7
2x - y = 1
La primera ecuación se puede reescribir de la forma

2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

2x = 1 + y
Sustituyendo   
2x   por 
1 + y en

2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
se tiene que

2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7
que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es 
y = 1.


Sustituyendo 
y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

4 + 3y = 7
cuya solución es   
x = 1.