Respuestas

2013-07-09T01:04:11+02:00
2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? SoluciónEn primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

TipoNºBizcochoRellenoBeneficioT. Vienesax1.x0,250x250xT. Realy1.y0,500y400y  15050  
Función objetivo (hay que obtener su máximo):  f(x, y)=250x+ 400y 
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema): 
Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para    0.25x+0.50y=50, ó  x + 2y=200xY01002000 Para   x + y =150xY01501500La otras dos son paralelas a los ejesAl eje OY    x=125Al eje Ox      y =125Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadranteLa región factible la hemos coloreado de amarillo: Encontremos los vértices:El  O(0,0), el  A(125, 0) y el  D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)Se observa que la restricción yes redundante (es decir “sobra”)Resolviendo el sistema:, por reducción obtenemos y=50, x=100 Otro  vértice es el punto  C(100, 50)Y el último  vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:X+y=150X=125Cuya solución es: X=125,  Y=25  B(125, 25) Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),Si dibujamos el vector de  dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y 
Haciendo 250x+ 400y =0,   y=-(250/400)x=-125x/200
 xY00200-125 Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vérticesLa unción objetivo era:  f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemosf(125,0)=31.250f(125,25)=31.250+10.000=41.250f(100,50)=25.000+20.000=45.000f(0,100)=40.000 El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)Conclusión:  se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.