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2013-06-10T23:53:58+02:00
La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa.Proposición 3.8: Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S, esto es AAj = Æ ,y . Entonces para cualquier evento B se tiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + ¼ + P(Ak)P(B/Ak)Demostración: Considérese el siguiente diagramaP(B) = P(BÇ S)= P[BÇ (A1 È A2 È ¼ È Ak )]= P[(BÇ A1)È (BÇ A2)È ¼ È (BÇ Ak )] (unión de eventos mutuamente excluyentes)= P(BÇ A1) + P(BÇ A2) +¼ +P(BÇ Ak) (por el axioma 3)= P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ ¼ +P(Ak)P(B/Ak) (por ecuación [3.3])=  Proposición 3.9: (REGLA DE BAYES)Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S y B un evento cualquiera en S. Entonces Demostración: Por la proposición 3.8, [3.6]Por la definición de probabilidad condicional se tiene [3.7] [3.8]Igualando [3.7] y [3.8], y despejando P(Ai/B) se tiene [3.9]Sustituyendo [3.6] en [3.9] se llega a la fórmula deseada Corolario: Si A y AC son una partición de S y B es un evento cualquiera de S, entoncesEjemplo 31: Un ingeniero químico sabe que cuando se compran etiquetas a un proveedor A, el número de etiquetas defectuosas y no defectuosas están en la relación 1:24; mientras que el proveedor B afirma que la probabilidad de encontrar una etiqueta no defectuosa en su compañía es de 9/10. Si se compra la misma cantidad de etiquetas a ambos proveedores:¿Cuál es la probabilidad de que si se encontró una defectuosa, ésta sea del proveedor B?¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor A, si se encontró que no es defectuosa?Solución: Sea D el evento de que la etiqueta sea defectuosa y DC que no lo sea. Entonces por el corolario anterior se tiene:Visto en un diagrama de árbol
2013-06-10T23:56:23+02:00
La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa.
Veamos ahora una versión simple del teorema de Bayes.Supongamos que para un todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio, existen dos escenarios que son antagónicos y complementarios. Es decir que puede ocurrir el escenario A, o el escenario complementario Å, donde la unión de ambos cubre todos los posibles resultados. Para ambos escenarios, tenemos definida una probabilidad, a saber P(A) y P(Å), donde obviamenteP(A) + P(Å) = 1Supongamos que B, es otro suceso de tal forma que las probabilidades condicionalesP(B / A)  y  P(B / Å)son conocidas. De otra forma se conoce, en virtud de la ley de probabilidad total, la probabilidad de B, puesto queP(B) = P(B / A) P(A) + P(B / Å) P(Å)Entonces, las probabilidadesP(A / B)  y  P(Å / B)llamadas "a posteriori" se pueden calcular medianteP(A / B) = P(B / A) P(A) / P(B)P(Å / B) = P(B / Å) P(Å) / P(B)