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2012-04-18T04:03:47+02:00
Teorema 1: Los elementos 0 y 1 del axioma 3 son únicos.  Demostración: Supongamos que existen dos elementos 0 y 0 , con '00 tales que:  x R,  x x =+ 0y,  x R,  x x =+ '0 Entonces tenemos que:'00'0 =+ (1) 0'00 =+ Pero por axioma 1 se cumple que: 00'0'00 =+=+ (2)De donde, igualando (1) y (2) vemos que, '00 = Pero por hipótesis teníamos que'00 , por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y enconsecuencia el este 0 es único. Teorema 2: El opuesto y el inverso son únicos (Unicidad del opuesto y del inverso).  Demostración: Supongamos que existen dos elementos '  x y ''  x , con '''  x x , tal que:                    x R, 0 ' =+ x x y,  x R, 0 '' =+ x x Ahora, por axioma 3, se cumple que,0 '' += x x   ( )( ) ''''''' 0 x x x x x x x +=++=++= Pero por hipótesis teníamos que '''  x x , por lo tanto lo que supusimos es incorrecto yen consecuencia el opuesto es único.De manera similar se prueba que el inverso también es único. Teorema 3: Sean cba ,, R. Se tiene:i. bacbca =+=+  Demostración: ( ) ( )( ) ( ) ( ) )( ) [ ] ( ) [ ] babaccbccaccbccacbca =+=+++=++++=+++=+ 00ii.00 = a , a  Demostración: ( ) aaaaaaaa +=++=+= 0000000000Ahora bien, por axioma 1 se cumple que: aaaa +=+=+ 000000 Luego, por i, tenemos a = 00                   iii. 000 === baba  Demostración: Si 0 a y 0 = ba , existe un 1 a tal que1 1 = aa .Por otra parte, ( )( ) 001000 111 ===== bbbaaabaaba iv. bacbca == , con0 c Si0 c , existe un 1 c , tal que1 1 = cc Por otra parte, ) ( ) ( ) ( ) bababccacccbccaccbca ===== 11 1111 D