DERIVADAS: RAZON DE CAMBIO Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Sila parte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento alejándosedirectamente del edificio a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿qué tan rápido está descendiendo el extremo superior de la escalera,cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared?

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Respuestas

2013-06-06T00:25:18+02:00
En este caso; la escalera forma un triángulo rectángulo con la pared y el piso:

y
|
|\
|.\ 
|..\
|__\__ x


la escalera es la hipotenusa: h = 20

la medida horizontal es x

la medida vertical es y


aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:


x² + y² = 20² =>

y² = 400 - x² ❶

derivamos la expresión anterior con respecto al tiempo:

y² = 400 - x² =>


2y(dy/dt) = -2x(dx/dt) =>

dy/dt = (-2x/2y)(dx/dt) =>

dy/dt = (-x/y)(dx/dt) ❷


sabemos que:

dx/dt = 1 pie/seg

x = 5 pies

hallamos y de la ec. ❶:

y² = 400 - x² =>

y = √(400 - x²) =>

y = √(400 - 5²) =>

y = √(400 - 25) =>

y = √(375) =>

y ≈ 19.365 pies


sustituimos en la ec. ❷:


dy/dt = (-x/y)(dx/dt) =>


dy/dt = (-5/19.365)(1 pie/seg) =>


dy/dt ≈ -0.26 pies /seg


por la tanto, cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared, el extremo superior desciende a un velocidad de 0.26 pies/seg aproximadamente

Un Saludo suerte ;)